Факторные модели испытаний

Коротко выделим основные типы используемых статисти­ческих комплексов. Прежде всего это планы полного фактор­ного эксперимента (ПФЭ), латинские, греко-латинские и гипергреко-латинские квадраты (см. 1.1.1), позволяющие про­изводить весь комплекс статистических вычислений по анали­зу исследуемого процесса.

Отметим, что внешние факторы могут быть как непрерыв­ными (влажность, температура и т. д.), так и дискретными. Примером дискретных факторов могут служить разные опера­торы, стенды или приборы, различные производственные пе­риоды, дни недели и т. п. Все они могут оказывать опреде­ленные непрогнозируемые воздействия на исход испытаний. В тех случаях, когда дискретные внешние переменные могут быть идентифицированы, т. е. оценены (случай активного экс­перимента) возможно применение рандомизированных планов испытаний типа латинского или греко-латинского квадратов (см. 1.1.1).

Во многих видах контрольно-испытательных работ рас­сматриваются два или более регулируемых переменных фак­торов (штатных параметров испытаний).

Последовательность проведения таких испытаний может составляться как в виде классической, так и факторной моде­лей (планов).

Классический план состоит в том, что все независимые переменные, кроме одной полагают постоянными (на одном определенном уровне), а одна изменяется по всем уровням в заданном интервале (например, фактор Y изменяется по всем 4-м уровням при наложении одного уровня внешней переменной «а»), В этом случае остальные клетки матрицы плана не заполняются.

По существу, классический многофакторный эксперимент представляет собой просто последовательность однофактор­ных экспериментов.

Если планируется классическая последовательность про­ведения испытаний (частичная или полная), то он не обяза­тельно должен быть сбалансированным. Это означает, что можно выбрать десять уровней переменной X и только три уровня переменной Y, если считается, что зависимость R от X — является боле важной или сложной. Например, при ис­пытаниях теплообменников часто рассматривается соотно­шение

St =

где число Стэнтона St — зависимая переменная, а число Рей­нольда Re и число Прандтля Pr — две независимые перемен­ные. В большинстве практически возможных случаев в ши­роком интервале температур число Рrа изменяется очень мед­ленно, а число , которое зависит от скорости потока жид­кости, может изменяться в широких пределах. При этом сле­дует варьировать числом Прандтля на значительно меньшем числе уровней, чем числом Рейнольдса [3].

Необходимо отметить, что применение факторных планов в контрольно-испытательных работах возможно в основном только в случае описания рабочих процессов двумя типами функциональных зависимостей. К первому типу относятся формулы, в которых зависимая переменная есть сумма функций от независимых переменных:

 

R= , (9)

 

где функции любой сложности.

Но примеры такого класса независимо действующих соотно­шений факторов встречаются редко.

Ко второму типу, более часто встречаемому в практике, относятся соотношения, описываемые произведением отдель­ных функций независимых переменных:

 

(10)

 

Практически это частный случай зависимостей первого типа, т. к., логарифмируя (18), получим:

(11)

 

Последнее выражение одно из наиболее важных общих соотношений в технических работах. Оно включает результат, широко применяемый при анализе размерностей

 

(12)

 

а также множество различных сложных формул, например, таких, как:

(13)

(14)

 

Примеры функций, не относящихся к этому классу: R=AXa + YbZc; R=AXa +eBY|Z и др.

Если известен окончательный результат R и с помощью кривых или таблиц для переменных X, Y, Z можно определить отдельные значения R, то можно вычислить и К.

Основное преимущество многофакторных экспериментов при факторном планировании — более высокая точность, чем при классическом плане при таком же или несколько большем объеме испытания. Основным их недостатком является то, что выбор большого числа комбинаций условий, при которых затем проводится эксперимент, осуществляется при отсутст­вии данных о рабочей области. Другой недостаток — невоз­можность применения получаемых графиков без перехода к общим функциональным соотношениям.

В тех случаях, когда известно, что будет получена функ­ция 2-го типа соотношений, в которую входят несколько пере­менных, необходимо всегда применять факторный план.

Модификацией латинских квадратов являются комбинаци­онные квадраты планов испытаний [22]. Например, комбина­ционный квадрат для плана испытаний, содержащих 4 фак­тора на 5 уровнях, состоит из 52 = 25 средних квадратов, каж­дый из которых в свою очередь тоже разбит на 52 = 25 малых квадратов или «клеток». Таким образом, всего имеется 54 = = 625 клеток по полному числу сочетаний 4 влияющих фак­торов на 5 уровнях (см. табл. 18 или раздел 2.2). Эффектив­ность таких моделей тем больше, чем больше количество фак­торов. Их применение также ограничивается областью актив­ного эксперимента.

Часто при построении комбинационных квадратов об­наруживается такой недостаток — для некоторых его частей будет наблюдаться монотонное изменение нескольких факто­ров одновременно. Для устранения такого недостатка получен­ный комбинационный квадрат можно преобразовать путем перестановки столбцов и строк средних квадратов. При этом свойства ортогональности квадрата не меняются.

К разновидностям матриц ПФЭ можно отнести статисти­ческие комплексы Длина [9].

Первый основной тип комплексов (или планов) — «равноповторный» — характерен размещением значений выходного контролируемого параметра в клетках планов в равном коли­честве (схема плана типа табл. 1).

 

Статистические комплексы такого типа могут быть обра­ботаны методами факторного анализа лишь при наличии в каждой клетке не менее 2-х значений (правило минимальной двукратной повторности).

Если в клетках плана содержится разное количество зна­чений, но для каждого сочетания уровней по всей таблице сохраняется заданная пропорция относительно других сочета­ний, то такие планы называются пропорциональными. Причем в отдельных клетках может содержаться и по одному значе­нию. Равномерный и пропорциональный комплексы являются ортогональными (см. 1.2.1). К ним методы факторного анали­за применимы безоговорочно. В случае нарушения принципа пропорциональности распределения значений по клеткам таб­лицы, но при наличии в каждой клетке хотя бы одного значе­ния, такой план называется «неравномерным». Если в подоб­ном плане в отдельных клетках таблицы не окажется ни одно­го значения, то его можно назвать «неполным».

Неравномерные и неполные планы не являются ортого­нальными, поэтому здесь непригоден обычный факторный анализ, содержащий в основе дисперсионный анализ, а при­менимы, например, регрессионный и корреляционный ана­лизы.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Как уже упоминалось в 1.2.1, такой анализ заключается в выявлении связи распределения значений выходного пара­метра с действующими на объект испытаний факторами, ее формы, направления, степени влияния.

Общее выражение для коэффициента корреляции из (1) можно представить как:

(15)

где п — количество значений выходного параметра;

— координаты точки замера относительно осей, проведенных через центр распределения:

 

 

Форма связи может быть определена с помощью уравне­ний регрессии или эмпирических формул [22].

 

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

Нормальные уравнения регрессии составляются по виду (1.3.4.) в количестве, соответствующему количеству неизвестных коэффициентов bi. Полученная система уравнений ре­шается обычными математическими методами (метод исклю­чения, метод наименьших квадратов — МНК).

Определение эмпирической формулы линейного вида.

Если числовые данные испытаний укладываются графи­чески достаточно близко от проведенной некоторым образом прямой, то можно предположить существующую здесь линей­ную зависимость:

у=ах+b.

Пример.

При испытаниях на стенде системы управления поворот­ным соплом двигательной установки ракеты [4] были получе­ны данные, определяющие зависимость усилия на штоке руле­вой машинки (Р) от перепада давления между двигательным отсеком и средой, разделяемых защитной мембраной ( р):

Таблица 5

р,[кПа]	—20,0	—15,0	10,0	—5,0		+5,0	+ 10,0	+ 15,0	+20
P, [H]	— 101	—77	—81	—57	—21	—29	— 13	— 11	+ 29

 

На рис. 2 точки расположились сравнительно близко к проведенной прямой. Следовательно, можно считать зависи­мость P=f( p) линейной.

Этот же вопрос можно решить аналитически.

Допустим сначала, что точки графика точно удовлетворя­ют формуле линейной зависимости,

т. е.

 

 

Вычтем из каждого равенства (начиная со второго) преды­дущее:

 

или

=

 

где — первые разделенные разности [27];

i= 1; 2;...; (n-1)

. (34)

 

Рис. 2. Экспериментальная зависимость Р = f( p).

 

Таким образом, для линейной формулы должно выполнять­ся условие (17). Но при наличии эмпирической формулы (16) равенства (17) будут приближенными, но мало отличающи­мися (колеблющимися) друг от друга.

По табл. 6 вычислим разности по формулам (16).

Из табл. 6 видно, что разности колеблются в сравни­тельно небольших пределах от +8,0 до —1,6, исключая выпа­дающее значение . Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид линейной зависимости.

В нашем примере значения , расположенные в поряд­ке возрастания, образуют арифметическую прогрессию. Обоз­начим = h — шаг аргумента.

Тогда формула (16) примет вид:

 

, откуда .

Таблица 6

 

№	р	Р		Pi+1
1.	—20,0	— 101	— 15-(—20) = +5,0	—77—(—101) = +24	(+ 24): (+5,0) = +4,8
2.	— 15,0	—77	— 10—(—15) = +5,0	—81—(—77) = —4	(-4): (+ 5,0) = —0,8
3.	10,0	—81	—5—(—10) = +5,0	—57—(-81) = +24	+ 1,8
4.	—5,0	—57	+ 5,0	—21 —(—57) = +36	+ 7,2
5.		—21	+ 5,0	—29— (—21) = —8	—1,6
6.	+5,0	—29	+ 5,0	— 13—(—29) = +16	+ 3,2
7.	+10,0	— 13	+ 5,0	— 11—(—13) = +2	+0,4
8.	+15,0	— 11	+ 5,0	+29—(—11) = +40	+ 8,0
9.	+20,0	+29

 

Обозначим и получим

 

(18)

Величины называются первыми неразделенными разностя­ми. Условие (17) перепишем:

 

=…= . (19)

 

Т. е. первые неразделенные разности должны мало отличать­ся друг от друга, что мы отмечаем в табл. 6.

В результате подстановки значении переменных р и Р в уравнении линейной зависимости появляются уклонения:

 

.

Используя МНК, находим такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов уклонений была бы мини­мальной, т. е.:

 

2+

min. (20)

Для этого определим частные производные

 

 

Приравняв частные производные нулю, получим нормаль­ные уравнения:

 

;

. (21)

 

Следует убедиться в том, что уравнения (21) определят значения параметров при минимуме функции (20). Для этого берем частные производные 2-го порядка:

 

;

; (22)

 

и составляем дискриминант (определитель) D:

 

=

или D > 0 тогда, когда

или n

Выведенная разность не может равняться нулю, поскольку определитель системы (22)

 

 

отличен от нуля, т. к. система имеет решение.

Следовательно, D>0 и >0, что указывает на наличие минимума функции (37).

Проведем расчет параметров а и b методом МНК соглас­но формулам (22) по данным из табл. 7.

 

Таблица 7

№	р, [кПа]	P,[H]	р2	Р. р	Р
1.	—20,0	—101	+ 400,00	+ 2020.0	—98,9	+ 2,1	+ 4,41
2.	— 5,0	—77	+ 225,00	+ 1155.0	—84,2	—7,2	+50.9
3.	—10,0	—81	+ 100,00	+ 810,0	—69,5	+ 11,5	+ 132,1
4.	—5,0	—57	+ 25,00	+285,0	—54,8	+2,2	+ 4,84
5.		—21			—40,1	— 19.1	+366,4
6.	+ 5,0	—29	+ 25.00	— 145.0	—25,4	+ 3.6	+ 10,29
	+ 10,0	— 13	+ 100.00	— 130.0	— 10,7	+ 2,3	+ 5,29
8.	+ 15.0	— 11	+ 225.00	— 165.0	+ 4,0	+ 15,0	+225
9.	+ 20,0	+ 29	+ 400,00	+580,0	+ 18,7	— 10.3	+ 103.1
		—361	+ 1500,00	+ 4410,0	—360,9	+ 0,1	+ 902,03

Нормальные уравнения по данным табл. 7 будут иметь вид:

 

 

Откуда

a= =-2,94; b=- ≈-40,1

Таким образом, искомая эмпирическая формула будет:

 

Р = 2,94∆р —40,1.

 

Подставим сюда значения ∆р для определения значении в таблице 11, затем рассчитаем уклонения . Здесь сумма квадратов уклонений будет минимальная, причем = 0 (в табл. 11 = 0,1, что объясняется округлениями), т. к. сумма равенств, определяющих уклонение:

 

 

Но левая часть уравнения совпадает с левой частью второ­го нормального уравнения (21) после переноса . Определение эмпирических формул, приводящихся к параболическому виду. В этом случае экспериментальные данные должны удовлет­ворять формуле (или могут быть средние значения функции отклика из плана однофакторного эксперимента или двух­факторного при постоянном значении одного из факторов):

 

у = а + bх + с. (23)

 

При определении параметров параболической формулы методом МНК используется система нормальных уравнений, выведенных из условия = min:

(24)

 

Эмпирические формулы, приводящиеся к линейном виду.

Расчет подобных формул производится, если не выполняются условия принадлежности исследуемых характеристик к линейной или параболической.

 

Рассмотрим 6 формул, наиболее часто встречаемых в фор­мализованных описаниях процессов испытаний (см. 1.4.2).

Для каждой формулы установим свойство, которому удов­летворяют два крайних значения зависимой переменной (т. е. и ) и некоторое промежуточное значение .

 

1. у = аlgx+b (25)

 

Подставим крайние значения и аргумента

 

 

Возьмем среднее геометрическое из двух крайних значений аргумента

, этому значению будет соответство­вать следующее значение зависимой переменной

 

или

 

 

Итак, для функции (25) должно выполняться условие

где — значение функции при .

 

2. у = а .

 

Также, как и в предыдущем случае, подставляем крайние значения переменных

;

 

или , откуда это есть условие, которому удовлетворяет рассматривае­мая формула.

 

3. у = а .

 

Подстановка крайних значений дает:

 

, .

Берем среднее арифметическое аргумента:

 

, для которого или , откуда — свойство функции у = а .

 

Сводные данные по аналогичным расчетам для других формул приведены в табл. 8.

Вид эмпирической формулы выбираем, пользуясь таблицей 8. По данным измерений находим и . Затем для этого же значения определим , используя дан­ные испытаний. Если будет равно какому-нибудь , то .

 

Таблица 8

№ формулы			Формула
1.
2.
4.
5.			y-a+
6.

 

 

Причем x_i соответствует ; откуда,

применяя линейную интерполяцию,

(26)

Таким образом, для получим 2 значения функции и . Если они мало отличаются друг от друга, то выбранная формула подтверждается, в противном случае нужно испы­тывать следующую за исследованной формулу таблицы 8. Из испытанных формул выбирается та, для которой разность () будет меньше.

Вид зависимостей и их параметры можно определить по формулам, выведенным по МНК, из приложения 3 к ГОСТ 16.305—74.

Пример.

Определить вид эмпирической формулы, выражающей за­висимость между усилием на штоке рулевой машинки Р и углом отклонения а поворотного сопла двигательной установ­ки летательного аппарата по эмпирическим данным в таблице 9.

 

Таблица 9

Р, [Н] + 500	+74	+ 95	+22, +6	-148	-138	-178 -141	-607
, [град]	— 10	—8 —6	—4	—2	+2	+4	+6	+8	+10
№

 

По виду экспериментальной кривой на рис. 3 можно пред­положить, что мы получили график степенной функции типа 2 (см. табл. 8), т. е.

у = — а или Р = —a

 

 

 

Рис. 3. Экспериментальная зависимость Р = f( ).

 

По предложенной выше методике определяем: . Поскольку график экспериментальной кривой расположен во 2 и 4 квадрантах, а определение парамет­ров а и b связано с вычислением логарифмов, поэтому мы ус­ловно отразим обе ветви графика в 1-ый квадрант и проведем все расчеты для функции Р=+a При этом нужно учесть для удобства расчетов смещение графика по ординате на +6 при = 0, вычтя 6 из взятых значений функции (см. табл. 10).

 

Таблица 10

Ветвь из 4-го квадранта	Р		147 | 184
Ветвь из 2-го квадранта	Р		68 89
			8 6
№		2 3

 

 

Тогда , откуда при в табл. 10 , т.е. а cледовательно выбор форму­лы сделан верно.

 

Расчеты параметров а и b проведем по формулам, выве­денным при помощи МНК (ГОСТ 16.305—74)

6 6 6

6 6 6

 

Для удобства можно составить таблицу почленного расчета формул. Окончательно:

 

lgα=

b=

Получили следующее аналитическое выражение экспери­ментальной зависимости (Р—b)= — 16,2* . Для первого приближения такое выражение достаточно адекватно отража­ет зависимость P=f(a) за исключением концов графика. По­следнее говорит о более сложной зависимости типа у = (x)* (x) и о проведении дополнительных расчетов либо по усложненной эмпирической формуле, либо по системе нор­мальных уравнений. В нашей работе ограничимся первой мо­делью.