Явление электромагнитной индукции 4 страница

где – электрическая постоянная, тогда

,

.

 

Задача 7. На расстоянии r₁ = 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q = 0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити до расстояния r₂ = 2 см; при этом совершается работа А = 5 мкДж. Найти линейную плотность заряда τ на нити.

Решение

Линейная плотность заряда τ на нити: , где dq – заряд малого участка заряженной линии длиной dr.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 с потенциалами φ₁ и φ₂:

.

С другой стороны, работа определяется выражением:

.

Пользуясь определением напряженности электрического поля и с учетом выражений для работы, получим:

,

где ε₀ – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума и воздуха ε = 1). Отсюда получаем:

,

 

Задача 8. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между пластинами d = 2 мм. На пластины конденсатора подана разность потенциалов U₁ = 0,6 кВ. Если, отключив источник напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, разность потенциалов на пластинах конденсатора возрастает до U₂ = 1,8 кВ. Найти поверхностную плотность связанных зарядов σ_cв на диэлектрике и диэлектрическую восприимчивость χ диэлектрика.

Решение

Емкость плоского конденсатора: , где ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная, S – площадь пластин конденсатора, d – расстояние между ними.

По определению емкость конденсатора: , где q – заряд конденсатора, U – напряжение.

Заряд на обкладках после отключения от источника и вынимания диэлектрика из конденсатора не изменяется, т.е. . Следовательно,

Отсюда напряжение между обкладками конденсатора после того, как из него вынули диэлектрик будет равно:

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика:

.

Связь диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости:

Связь между поляризованностью и напряженностью электрического поля:

Поляризованность равна поверхностной плотности связанных зарядов:

,

Диэлектрическая восприимчивость:

 

Задача 9. Сколько электронов проходит за 1 с через сечение проводника диаметром 0,5 мм медного проводника длиной 20 м при напряжении на его концах 12 В? Удельное сопротивление меди: ρ = 1,7·10^-8 Ом·м.

Решение

По определению силы тока: .

По закону Ома: .

Сопротивление длинного проводника: , где – площадь сечения проводника. Тогда: .

Суммарный заряд, проходящий через сечение проводника: , где е = = 1,6·10^-19 Кл – элементарный заряд.

Следовательно ,

.

 

Задача 10. ЭДС батареи 10 В. При силе тока 0,4 А к.п.д. батареи равен 0,8. Определить ее внутреннее сопротивление.

Решение

По закону Ома для полной цепи:

,

Тогда: .

По определению КПД элемента:

, , .

Следовательно: .

 

Задача 11. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону I=5e^-0,05t. Определить количество теплоты, которое выделится в проводнике сопротивлением R = 8 Ом за время, в течение которого ток уменьшится в е² раз.

Решение

По закону Джоуля-Ленца:

,

,

Следовательно:

 

Задача 12. Две группы из трех последовательно соединенных элементов (рис. 28) соединены параллельно. ЭДС каждого элемента ε = 1,2 В, внутреннее сопротивление r = 0,2Ом. Полеченная батарея замкнута на внешнее сопротивление R = 1,5 Ом. Найти силу тока I во внешней цепи.

Решение

Закон Ома для замкнутой цепи:

где I – сила тока, ε – электродвижущая сила, R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление

При последовательном соединении:

При параллельном соединении:

Тогда для данной цепи закон Ома будет иметь вид:

,

 

Задача 13. При подключении резистора к батарее гальванических элементов сила тока в цепи равна I₁ = 2 А, напряжение на резисторе U₁ = 3 В, мощность тока во внешней цепи Р₁ = 6 Вт. При подключении к этой же батарее другого резистора сила тока в цепи стала равной I₂ = 4 А,напряжение – , мощность тока – Р₂ = 0 Вт _: Определите ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, а также величину, обозначенную «звездочкой».

Решение

По закону Ома для полной цепи:

По определению мощности тока:

Тогда:

.

По закону Ома для участка цепи:

 

Задача 14. По проводнику сопротивлением R = 3 Ом течет равномерно от нуля возрастающий ток. При этом за время t = 8 с в проводнике выделяется 200 Дж тепла. Определить заряд q, прошедший по проводнику.

Решение

Так как ток в цепи возрастает равномерно, то силу тока можно представить линейно, в виде уравнения:

,

где k – коэффициент пропорциональности.

С другой стороны силу тока можно выразить через прошедший через проводник заряд:

, тогда: .

Искомую величину заряда представим интегралом вида:

.

Поскольку по условию задачи пределы изменения силы тока не заданы, то значение коэффициента k можно определить по количеству выделившегося тепла. Воспользуемся законом Джоуля-Ленца:

,

где R – сопротивление проводника. Проинтегрируем это уравнение и выразим из него коэффициент пропорциональности k:

,

откуда

,

 

Задача 15. В цехе установлено семь моторов, включенных параллельно в сеть с напряжением 120 В. Каждый мотор потребляет мощность 1,2 кВт. Определить: 1) ток, потребляемый каждым мотором; 2) ток в сети; 3) напряжение на зажимах динамо-машины, которые отстоят от цеха на расстоянии 125 м. Провода медные сечением 25×10^{-6 м2}. Определить потерю мощности в проводах.

Решение

Мощность, потребляемая мотором:

При параллельном соединении токв сети:

Сопротивление медной проволоки определяется по формуле:

где ρ = 1,7·10^-8 Ом·м – удельное сопротивление провода, l – длина, S площадь поперечного сечения провода. Так как ток передается по двум проводам то l = 2·125 = 250 м. Тогда:

Напряжение на зажимах динамо-машины:

Потеря мощности определяется по закону Джоуля-Томсона:

 

Задача 16. При получении алюминия электролизом раствора Al₂O₃ в расплавленном криолите проходит ток в 1 кА при разности потенциалов 8 В. За какое время выделится 500 кг алюминия? Какая электрическая энергия при этом будет затрачена?

Решение

По закону Фарадея:

 

Задача 17. Катушка имеет 10000 витков площадью 100 см², вращается с частотой 3600 об/мин в магнитном поле напряженностью 4,1 А/м. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна силовым линиям поля. Определить максимальную ЭДС индукции в рамке.

Решение

ЭДС индукции можно определить по формуле:

,

 

Задача 18. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящиеся на расстоянии a = 20 см от его середины. Сила тока в проводе I = 30 А, длина его L = = 10 см.

Решение

 

Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:

,

где элемент проводника dl с током I создает в некоторой точке индукцию поля dB, α – угол между векторами dl и r, μ₀ – магнитная постоянная.

Прежде, чем интегрировать это выражение, преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу α. Выразим длину элемента dl проводника через dα. Согласно рис. 29, запишем:

.

Подставив это выражение в закон Био-Савара-Лапласа, получим:

.

Но r – величина переменная, зависящая от α и равная .

Подставив r в предыдущую формулу, получим:

.

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем полученное выражение в пределах от α₁ до α₂:

.

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosα₂ = – cosα₁. С учетом этого формула получаем:

.

Из рис. 29 следует, что

.

Следовательно, окончательно получаем:

.

 

Задача 19. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 10 мТл по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 6 см. С какой скоростью и под каким углом к направлению силовых линий электрон влетел в магнитное поле?

Решение

Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой линии, если она в него влетает под углом a к линиям индукции. Движение по винтовой линии считается двумерным. Введём оси координат ОX и ОY. Поскольку магнитное поле однородное, то движение вдоль общих осей будет равномерным. Скорость частицы раскладываем на две проекции и , причём

,

.

Шаг винтовой линии (расстояние между витками) определяется как

где Т – период обращения по окружности, которая расположена в плоскости ОY. Движение по окружности происходит со скоростью и периодом обращения:

.

Тогда шаг винтовой линии будет равен:

.

Из последнего выражения определим угол наклона скорости к оси ОX:

.

.

Радиус винтовой линии определяется выражением , из которого определим скорость :

,

Определим скорость :

 

Задача 20. Проволочный виток радиусом r = 4 см, имеющий сопротивление R = 0,01 Ом, находятся в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол α = 30^о с линиями индукции поля. Какое количество электричество Q протечет по витку, если магнитное поле исчезает?

Решение

По закону Фарадея ЭДС равно отношению изменению магнитного потока ко времени:

,

С другой стороны из закона Ома:

,

где I – сила тока.

С другой стороны сила ток по определению численно равна заряду, проходящему через сечение проводника в единицу времени:

,

Тогда:

,

.

Магнитный поток можно вычислить по формуле:

,

где φ – угол между нормалью к рамке и линиями магнитной индукции. Нам известен угол между плоскостью витка и полем α, поэтому . Тогда:

Так как магнитное поле исчезает, то конечное значение потока Ф₂ = 0, тогда изменение потока будет равно:

Следовательно:

.

Площадь витка: , поэтому

,

 

Задача 21. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1 мм². Длина соленоида l = 25 см; его сопротивление R = 0,2 Ом. Найти индуктивность L соленоида. Удельное сопротивление меди: ρ = 1,7·10^-8Ом·м.

Решение

Индуктивность соленоида:

,

где – площадь поперечного сечения соленоида.

Число витков N найдем из соотношения:

.

Диаметр проволоки d можно найти, зная, что площадь поперечного сечения проволоки: , следовательно . Тогда:

.

Сопротивление

Разделив длину всей проволоки на количество витков, мы получим длину окружности одного витка,

,

а площадь поперечного сечения соленоида

Тогда индуктивность соленоида будет равна:

.

Задача 22. Проводник имеет форму бесконечно длинного цилиндра с внутренним радиусом R₁ = 7,5 см и внешним R₂ = 10 см. Текущий по проводнику ток силой I = 1 А равномерно распределен по сечению. Определить индукцию магнитного поля на расстоянии r = 12,5 см от оси проводника.

Решение

Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора :

В силу симметрии модуль вектора в каждой точке окружности радиуса одинаков, поэтому:

где сумма токов, охватываемых контуром, равна

Так как ток в цилиндре однородный, то плотность тока j равна:

Тогда

 

Задача 23. В колебательный контур (рис 31) включен последовательно источник переменной ЭДС ε = ε_maxcosωt, где ε_max = 197 В, ω = 4·10³ с^-1, С = 0,2 мкФ, R₁ = R₂ = 100 Ом, L₁ = L₂ = L = 0,1 Гн. Найти: максимальный заряд, который проходит через конденсатор q_m, амплитудное значение силы тока в контуре i_m,начальную фазу напряжения в контуре ψ, сдвиг фаз между током и напряжением в контуре φ.

Решение

Сила тока максимальная по закону Ома для полной цепи переменного тока равна:

где Z – полное сопротивление цепи:

Тогда:

Максимальный заряд равен:

Сдвиг фаз равен:

Начальная фаза напряжения в контуре:

 

Задача 24. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости С, сопротивления R и катушки с индуктивностью L и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения на катушке.

Решение

Напряжение на катушке:

Максимум амплитуды напряжения на катушке наступит при условии: