Закон больших чисел

7.1. Неравенство Чебышева.

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием и дисперсией Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной :

7.2. Закон больших чисел (теорема Чебышева).

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений случайной величины и ее математическим ожиданием. Рассмотрим среднее арифметическое значение У для нескольких случайных величин:

Согласно теоремам о числовых характеристиках имеем:

При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

где произвольно малые положительные числа. Доказательство этой теоремы основывается на применении неравенства Чебышева.

Применим к случайной величине У это неравенство, полагая : .

Как бы мало ни было число , можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство, тогда переходя к противоположному событию, имеем выше приведенное выражение для закона больших чисел.