Формула ньютона – лейбница

Интегральные вычисления возникли из потребности создать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжести. Способ вычисления площади уходит корнями в III в. до н.э., когда Архимед изобрел метод «исчерпывания». Этот метод через две тысячи лет преобразовался в метод интегрирования.

Пусть в некоторой области определены функции и . Пусть . Тогда называется производной функции , а – первообразной функции . Любая функция имеет множество первообразных.

По отношению к дифференцированию интегрирование является обратным действием.

Неопределенным интегралом от функции называется ее произвольная первообразная

,

если , где х – переменная интегрирования, а – подынтегральная функция.

Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси.

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной

.

3. Постоянная выносится из под знака интеграла

.

4. Интеграл суммы равен сумме интегралов

.

5. Под знаком интеграла можно проводить замену переменной

.

Таблица основных интегралов получается из основных формул дифференциального исчисления путем прямого их обращения.

Так как интегрирование – действие обратное дифференцированию, то его можно проверить дифференцированием.

Всякое обратно действие сложнее прямого. Поэтому прежде чем воспользоваться таблицей интегралов приходится заданный интеграл преобразовывать к табличному. Наиболее часто используемые методы преобразования: метод разложения, метод подстановки (замена переменной), интегрирования по частям.