Изображение пространственных фигур при параллельном проектировании

 

Из теоремы Польке – Шварца следует, что изображением тетраэдра, равного данному, при параллельном проектировании может служить произвольный четырехугольник (в частности и не выпуклый).

 

Изображением параллелепипеда, в том числе прямоугольного и куба, является фигура, состоящая из трех пар параллелепипедов, полученных друг из друга параллельным переносом.

При этом строится вначале изображение тетраэдра ABDA¢. И силу теоремы Польке – Шварца оно представляет собой четырехугольник A₁B₁D₁A₁¢ плоскости изображения a. Затем этот четырехугольник достраивается до трех пар указанных параллелограммов.

Построение изображения призмы. Изображением n – угольной призмы служит фигура, состоящая из двух равных n – угольников – изображений оснований призмы, и n параллелограммов – изображений ее боковых граней. При этом построение изображений оснований подчиняется правилу построения изображения n – угольника.

Построение пирамиды. Основание n – угольной пирамиды изображается n - угольником, построение которого подчиняется правилу построения изображения n – угольника. Вершина пирамиды изображается точкой, а боковые грани – треугольниками.

При этом из теоремы Польке – Шварца следует, что в качестве изображения вершины пирамиды и трех вершин основания можно взять произвольный четырехугольник на плоскости.

 

Изображение цилиндра.

Дан прямой круговой цилиндр. Для наглядности будем считать, что плоскость изображения a параллельна оси цилиндра, а направление проектирования, определенное вектором не перпендикулярно a. Проведем плоскости p₁ и p₂, перпендикулярные a и касающиеся цилиндра. Основания цилиндра изобразятся эллипсами, а его образующие АА¢ и ВВ¢ - касательными к изображению оснований (контурные образующие).

 

Изображение конуса. Так же, как и в случае цилиндра, выберем плоскость изображения параллельно оси цилиндра, а вектор , определяющий направление проектирования, не перпендикулярно плоскости изображения. Пусть s - плоскость основания конуса. Проведем через его вершину S прямую, параллельную вектору . Получим точку S¢ пересечения этой прямой и плоскости основания. Тогда конус проектируется в фигуру, полученную отрезками касательных S¢A и S¢B, проведенных из точки S¢ к окружности основания, и самой окружностью. Поэтому при проекции конуса на плоскость a мы получим, что окружность основания изображается эллипсом, изображение вершины S принадлежит прямой, содержащей ее меньшую ось, а контурные образующие – отрезками касательных, проведенных из изображения вершины к изображению окружности основания.

 

Изображение сферы. При построении изображения сферы используется ортогональная проекция, иначе сфера будет изображена эллипсом. Поэтому изображением сферы служит окружность. Для наглядности на изображении сферы указывают окружность большого круга, не перпендикулярную и не параллельную плоскости изображения (экватор). Проведем прямую, перпендикулярную плоскости экватора. Изображения ее точек пересечения со
сферой называются полюсами. Полюсы сферы не расположены на контурной окружности сферы, иначе экватор сферы представляет собой отрезок, а его плоскость – параллельна плоскости изображения. Укажем способ построения полюсов, соответствующих данному экватору.

Обозначим плоскость изображения через a, а плоскость экватора через s. АВ и CD оси эллипса экватора на изображении. Они принадлежат плоскости a, Точки С¢ и D¢ принадлежат большой окружности, полученной при пересечении s и сферы. Эти точки проектируются в С и D. Прямая S¢N¢ перпендикулярна плоскости s, а сами эти точки служат пересечением прямой и сферы. Таким образом: Величина угла между плоскостями a и s равна j. Очевидно, этот угол совпадает по величине с углом СОС¢ прямоугольного треугольника СОС¢, а угол NON¢ прямоугольного треугольника NON¢ равен . Отсюда следует, что , а .

С другой стороны, если СК – касательная к эллипсу экватора на изображении сферы, то треугольник СОК прямоугольный, , и, как было доказано ранее, . Поэтому . Отсюда следует, что . Таким образом,