Відношення порядку

Часто доводиться зустрічатися з відношеннями, що визначають деякий порядок розташування елементів множини. Так, ми відрізняємо поняття «раніш» і «пізніше» у випадках, коли елементами множини є стани динамічної системи. Ми відрізняємо поняття «більше» і «менше» і користуємося при цьому символами > або <, якщо елементи множини є числами. Ми відрізняємо поняття множини і підмножини, користуючись символами або . В усіх цих випадках можна розташувати елементи множини Х або групи елементів у деякому порядку або, іншими словами, ввести відношення порядку на множині X.

Розрізняють відношення нестрогого порядку, для якого використовується символ (окремими випадками його є символи ), і відношення суворого порядку, для якого використовується символ < (окремими випадками його є символи ). Опишемо ці відношення шляхом перерахування властивостей, якими вони володіють.

Відношенням нестрогого порядку називається відношення, що володіє наступними трьома властивостями:

— істинно (рефлексивність);

і (антисиметричність);

і (транзитивність).

Відношенням суворого порядку називається відношення, що володіє наступними трьома властивостями:

- ложно (антирефлексивність);

і взаємовиключаються (несиметричність);

і (транзитивність).

Множина Х називається упорядкованою, якщо будь-які два елементи х і у цієї множини є порівнянними, тобто якщо для них має місце

або або .