Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

Замечание. Условие (2) можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f (x) определена в полуинтервале [ x ₀, x ₀ + δ).

Функция f (x) называется непрерывной справа в точке x ₀, если существует односторонний предел

Пусть функция f (x) определена в полуинтервале (x ₀ − δ, x ₀].

Функция f (x) называется непрерывной слева в точке x ₀, если существует односторонний предел

2) Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.