Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела

1) Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в

бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.

Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , то есть .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .

2) Пусть задано некоторое числовое множество и каждому поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция , .Число называется пределом функциив точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при .

3) Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x ₁= –1, x ₂ = 2, x ₃= –3, …, x _n=(–1) ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство | f(x) - b | < ε.

Обозначают

4) Из определения предела следует: если переменная x_n имеет пределом число a, то это значит, что как бы мало не было любое наперед заданное положительное число e, всегда можно найти такое значение x_N, что все последующие ее значения будут удовлетворять неравенству

| x_n - a | < e при n і N (1)

Легко видеть, что неравенство (1) равносильно следующим двум неравенствам:

-e < x_n - a < e (2)

В самом деле, если x_n - a > 0, то из неравенства x_n - a < e имеем | x_n - a | < e. Если же x_n - a < 0, то из неравенства -e < x_n - a имеем| x_n - a | < e.
Прибавляя a ко всем частям неравенств (2), получаем два других неравенства, равносильных неравенству (1)