Функция и уравнения Беллмана

Рассмотрим задачу (9.1.5)– (9.1.8) с измененными начальными условиями:

, (9.2.1)

, , , , (9.2.2)

, , , (9.2.3)

, , , (9.2.4)

где точка и целое число фиксированы. Через обозначим множество управлений , удовлетворяющих (9.2.4) и таких, что соответствующая траектория из (9.2.5) удовлетворяет фазовым ограничениям (9.2.3). Пару будем называть допустимой для задачи (9.2.1)–(9.2.4), если . Допустимую пару назовем решением задачи (9.2.1)–(9.2.4), если

а – оптимальным управлением, – оптимальной траекторией задачи (9.2.1)–(9.2.4).

При также и хотя бы для одного . Введем функцию

,

называемую функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8). Ее область определения – множество . Функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) удовлетворяет рекуррентным соотношениям, называемым уравнением Беллмана.

Теорема 1. Функция Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8) необходимо является решением уравнения

, , (9.2.5)

где ,

, , (9.2.6)

Верно и обратное: функция , . , определяемая условиями (9.2.5), (9.2.6), является функцией Беллмана задачи (9.1.5)-(9.1.8).