Необходимые условия экстремума

Задачей Лагранжа в ВИ называют задачу нахождения экстремума функционала (7.1.1) при условиях (7.1.2)

, , . (7.2.1)

Если нет специальных оговорок, то будем считать, что имеет непрерывную производную .

Необходимые условия экстремума. Уравнение Эйлера–Лагранжа (Э-Л). Если функция доставляет функционалу слабый (локальный) экстремум, то она должна являться решением дифференциального уравнения Эйлера-Лагранжа:

, (7.2.2)

или в другой форме

. (7.2.2)

Здесь предполагается дважды непрерывно дифференцируемой. Так как сильный (локальный) экстремум есть одновременно и слабый (локальный) экстремум, то дифференциальное уравнение (7.2.2) представляет собой так же и необходимое условие для сильного (локального) экстремума.

Уравнение Эйлера-Лагранжа есть дифференциальное уравнение второго порядка. Решения этого уравнения называют экстремальными. Появляющиеся две постоянные интегрирования определяются при помощи граничных условий (7.1.2).

Краткое описание доказательства. Пусть экстремум функционала (7.2.1). Для кривых сравнения вида

, (7.2.3)

где – малый параметр, имеем

.

Таким образом, функционал есть функция только параметра . В силу предположения о том, что есть решение, должно выполнятся соотношение

. (7.2.4)

Вычислим производную

Из и произвольности функции вытекает уравнение Эйлера – Лагранжа (7.2.2). В приведенном кратком обосновании используется факт существования решения.

Пример 3. Найти экстремум функционала

.

Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид

.

Отсюда следует . Используя граничные условия, получаем: .

Следует учитывать, что экстремали не всегда реализуют минимум или максимум, так как уравнение Э-Л представляет собой только необходимое условие экстремума. Приведем дополнительные необходимые условия экстремума, которые в определенных случаях позволяют исключить те экстремали, которые не дают экстремума функционалу.

Специальные случаи задачи (7.2.1).

а) Если , т.е. , то уравнение Э-Л имеет вид , так что есть первый интеграл этого уравнения.

Пример 4. Найти экстремум функционала

.

Из условия получаем, что , и, следовательно, . Применяя граничные условия, получим .

б) Если , т.е. и . Из уравнения Э-Л (7.2.2) следует, что

,

и, таким образом, . Следовательно, есть первый интеграл.

в) Если , то уравнение Э-Л упрощается и имеет вид .

г) Если , то , и тем самым , т.е. экстремали являются прямыми вида .

Так как уравнение Эйлера–Лагранжа представляет собой только необходимое условие экстремума, то экстремали не всегда реализуют минимум или максимум функционала. Приводимые далее необходимые условия экстремума позволяют в определенных случаях исключить те экстремали, которые не дают экстремума функционалу.

Условие Лежандра. Используя вторую вариацию , получаем необходимое условие экстремума Лежандра: чтобы функция доставляла слабый (локальный) минимум (максимум) функционалу , необходимо, чтобы для имело место неравенство

. (7.2.5)

Пример 5. Найти минимум функционала

.

Так как подынтегральная функция зависит только от , то экстремалями являются прямые. С учетом граничных условий получаем . Условие Лежандра имеет вид . Для экстремали это неравенство не выполняется, поэтому слабого локального минимума не существует.

Условие Якоби. Пусть для функции , , выполнено строгое условие Лежандра, то есть . Если при этом функционал имеет при слабый минимум, то для точки , сопряженной с , должно выполнятся неравенство . Сопряженная точка определяется следующим образом. Пусть есть решение дифференциального уравнения Якоби

. (7.2.6)

За принимаем наименьший из корней функции , лежащих справа от x₀. Если справа от нет корней то полагаем .

Пример 6. Найти минимум функционала

.

Уравнение Эйлера –Лагранжа имеет решение . Условие Лежандра выполнено в строгой форме

.

Уравнение Якоби (7.2.6) имеет вид

.

Его решение . Поэтому для сопряженной точки получаем значение , то есть условие Якоби выполнено в случае, если .