Понятие динамической системы

Математическое понятие динамической (причинной) системы служит для описания потока причинно-следственных связей из прошлого в будущее.

Определение. Динамической системой S называется восьмёрка множеств

S = (T, X, U, Ω, Y, Г, ϕ, η),

где

· T – множество моментов времени как упорядоченное подмножество множества вещественных чисел;

· X – множество переменных состояния системы (множество состояний);

· U – множество мгновенных значений входных воздействий;

· Ω – множество допустимых входных воздействий Ω={ω: T →U}, которое удовлетворяет условиям нетривиальности (Ω не равно 0) и сочленения входных воздействий на заданном отрезке;

· Y – множество мгновенных значений выходных величин;

· Г – множество допустимых выходных величин Г;

· ϕ – переходная функция состояния ϕ: T х T х X х Ω → X, значениями которой служат состояния x(t₂)=ϕ(t₂; t₁, x(t₁), ω)∈X, в которых оказывается система в момент времени t₂∈T, если в начальный момент времени t₁∈T она была в начальном состоянии x(t₁) ∈ X и если на неё действовало входное воздействие ω(t₁,t₂) ∈ Ω⊂U. При этом ϕ обладает свойством направленности времени, согласованности, сочленения и причинности.

· η – функция наблюдения η (выходное отображение): ТxX→Y, определяющая выходные величины y(t)=η[t,x(t)].

Данное понятие динамической системы является достаточно общим для того, чтобы выработать общую терминологию, но недостаточно конкретно, чтобы получать новые математические результаты.

Упрощённым вариантом описания динамической системы является описание системы в виде черного ящика (“вход - выход”):

S: Ω x Г, или S: U x Y, или S: Ω xY.

Модель функционирования системы в виде “чёрного ящика” отображает только связи системы с внешней средой в виде перечня “входов” и “выходов”.

Примеры описания динамических систем.

1. Модель нелинейной системы

2. Модель линейной системы , где А, В, С – числовые матрицы

3. В операторной форме , где р – оператор дифференцирования