Преобразование скоростей

Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и время в системах, движущихся друг относительно друга, различны. Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:

Эти уравнения отвечают сравнительно простому частному случаю, когда наблюдатели движутся друг относительно друга вдоль общей оси х. Самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа.

Можно выразить координаты неподвижной системы отсчета через координаты движущейся системы:

Ясно, что, из-за относительности движения и постоянства скорости, тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого - движущимся. А поскольку этот другой движется в обратную сторону, то получится то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости.

Найдем дифференциалы координат из последних уравнений:

Разделив первые три уравнения на четвертое, получим формулы для преобразования скоростей:

Для v_z выражение такое же, как и для v_у, что ясно также из симметрии соответствующих координатных осей по отношению к скорости движения.

В частном случае только поперечного движения () формула для преобразования поперечной скорости приобретает вид:

Поперечная скорость в движущейся системе отсчета неподвижному наблюдателю кажется уменьшенной.

Полученное выражение можно получить прямо из принципа относительности, если вспомнить часы со световым лучом. В таких часах вертикальная компонента скорости меньше скорости света с на множитель .

Особый интерес вызывает преобразование продольной скорости v_x.

Предположим, что наша скорость внутри космического корабля равна половине скорости света и направлена в сторону движения корабля (), который движется с такой же скоростью (). Согласно Ньютону, неподвижному наблюдателю должно казаться, что наша скорость v_x равна сумме скоростей корабля и нашей скорости относительно корабля, т.е. равна скорости света. Теория относительности дает:

Если внутри корабля движется свет, то его скорость для внешнего наблюдателя равна

, независимо от скорости u движения корабля.

Собственно факт инвариантности скорости света является основным положением в фундаменте теории относительности.