Четырехвектора

Полезно собирать воедино отличные от координат величины, которые преобразуются так же, как и координаты; эти соединенные величины называют векторами, или направленными отрезками.

Существуют ли величины, которые преобразуются при переходе от неподвижной системы координат к движущейся так же, как и х, у, z, t? Три из этих величин, подобно х, у, z, могли бы представлять собой три компоненты обычного пространственного вектора, а четвертая могла бы оказаться похожей на обычный скаляр относительно пространственных вращений: она бы не изменялась, пока мы не перейдем в движущуюся систему координат. Возможно ли связать с одним из известных «тривекторов» некоторый четвертый объект (который можно назвать «временной компонентой») таким образом, чтобы вся четверка «вращалась» точно также, как изменяются пространство и время в пространстве-времени?

Можно доказать, что существует по крайней мере одна такая четверка (на самом деле не одна): три компоненты импульса и энергия в качестве временной компоненты преобразуются вместе и образуют так называемый «четырехвектор».

Исходные выражения:

Кроме того необходима формула для преобразования скорости. Для простоты рассмотрим в начале случай отсутствия поперечной компоненты скорости:

В результате алгебраических преобразований получаем:

Учитывая, что поперечный импульс сохраняется при переходе в движущуюся систему координат, можем записать также

Для сравнения приводим преобразования Лоренца для координат пространства-времени:

Замечаем полную аналогию в законах преобразования величин:

Е / с ® ct

p_x ® x

p_y ® y

p_z ® z

Таким образом, эти преобразования выявили четыре величины, которые преобразуются подобно х, у, z, t. Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс - это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути. У этой стрелки временная компонента дает энергию, а пространственные - тривектор импульса; сама стрелка «реальнее», чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс и энергия зависят от нашей точки зрения.