Тема: Напрям угнутості кривої. Точки перегину. Асимптоти кривої

 

Графік функції у = f(х) називається угнутим на проміжку (a; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Графік функції у = f(х) називається опуклим на проміжку (a; b), якщо відповідна дуга кривої розміщена нижче дотичної, проведеної в будь-якій точці цієї дуги.

Точкою перегину неперервної кривої називається така її точка М₀, при переході через яку крива міняє свою опуклість на угнутість і навпаки.

Достатня умова опуклості (угнутості) кривої: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) додатна на проміжку (a; b), то графік цієї функції угнутий на цьому проміжку. Якщо друга похідна f′′(х) від’ємна на проміжку (a; b), то графік функції опуклий на цьому проміжку.

Достатня умова існування точки перегину графіка функції: якщо друга похідна f′′(х) функції у = f(х) в точці х₀ рівна нулю і міняє знак при переході через цю точку, то М(х₀; f(х₀)) – точка перегину графіка цієї функції.

 

Приклад. Дослідити функцію на напрям угнутості та знайти точки перегину: у=- 6х⁵ + х⁴ + 3х.

Область визначення функції: D(у) = (-; +).

Знайдемо похідні даної функції:

у′ = 6х⁵ – 30х⁴ + 30х³ + 3;

у′′ = 30х⁴ – 120х³ + 90х² = 30х²(х² – 4х + 3).

Прирівняємо отриману похідну до нуля і розв’яжемо отримане рівняння:

30х²(х² – 4х + 3) = 0 30х² = 0 або х² - 4х + 3 = 0.

Звідси: х_1,2 = 0, х₃ = 1, х₄ = 3.

 

 

 

 

 

+ + - +

 

 

0 1 3

Отже, графік функції угнутий при х (-; 1)(3; +,

графік функції опуклий при х(1; 3).

Точки перегину функції:

у(1) = 1 – 6 + + 3 = 7,5 – 2 = 5,5.

у(3) = 729 – 1458 + 607,5 + 9 = 112,5.

 

Асимптотою кривої називається пряма лінія, до якої необмежено наближається точка цієї кривої при необмеженому віддаленні від початку координат. Асимптоти бувають вертикальні і невертикальні.

Якщо хоча б одна з односторонніх границь функції у = (х) в точці є нескінченною, тобто (х) = або(х) =, то пряма х = називається вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Пряма у = b є похилою асимптотою кривої у = (х) при х або при х, якщо виконуються умови: k =, b = ((х) – kх).

На рис. 1,2, і 3 наведені приклади асимптот.

 

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Асимптоти можуть бути похилими і вертикальними.

Якщо і (або), то пряма є вертикальною асимптотою.

Прикладом вертикальної асимптоти є вісь Oy на рис. 3.

Прикладами похилих асимптот є прямі L на рис. 1 і 2.

Частинним випадком похилої асимптоти є горизонтальна асимптота.

Графік функції має горизонтальну асимптоту у = b, якщо k = 0, b

Приклад: Знайти рівняння асимптот функції: у =.

Область визначення функції: D(у) = (- (-1; +).

Знайдемо односторонні границі: = = = = = = -.

Отже, пряма х = - 1 є вертикальною асимптотою.

Перевіримо умови існування похилих асимптот:

k = == () = 1,

b = ((х) – kх) = (- х) = = () = 2.

Отже, пряма у = х + 2 є похилою асимптотою даної функції.

 

Завдання для роботи в аудиторії:

І. Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1) у = х² – 6х + 7;

2) у = х⁴ – 6х² + 5х – 9;

3) у = х⁶ – 3х⁴ + 3х² – 4;

4) у =;

5) у =.

 

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1) у =;

2) у =;

3) у =;

4) у = 2х -;

5) у =.

 

Домашнє завдання:

І.Знайти проміжки опуклості та угнутості і точки перегину графіка функції:

1) у = 3х² – 2;

2) у = х³ – 3х² + 4х – 5;

3) у = х⁵ – 10х³ + 6х + 2;

4) у = + 3;

5) у =.

 

ІІ. Знайти рівняння асимптот графіка функції:

1) у =;

2) у =;

3) у =

4) у =;

5) у =.