Ірраціональні рівняння

Ірраціональними називають такі рівняння, у яких змінна знаходиться під знаком кореня. Наприклад, , .

!!! При розв’язуванні ірраціональних рівнянь обов’язковим є АБО знаходження ОДЗ рівняння, АБО перевірка знайдених коренів. Тому що при виконанні перетворень може порушуватись рівносильність рівнянь.

Основним методом розв’язування ірраціональних рівнянь є піднесення обох частин рівняння до одного степеня. На допомогу приходять формули скороченого множення ;

ПРИКЛАД 1. . Оскільки , а -4 0, то рівність неможлива.

Відповідь: коренів немає.

ПРИКЛАД 2. . ; х-1=8; х=9.

Відповідь: 9.

ПРИКЛАД 3. . ; 2х+3= ; -2х-3= 0; х₁=-1, х₂=3.

Перевірка. При х=-1 маємо =-1 – неправильна рівність, отже, х=-1 - сторонній розв’язок. При х=3 маємо = 3 – правильна рівність, отже, х=3 – корінь.

Відповідь: 3.

ПРИКЛАД 4. + = 4. Ізолюємо один корінь і піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. = 4- ;. = ;

5х-1 = 16 - 8 + ; 5х-1 = 16 - 8 +х+3. Знову ізолюємо корінь і знову піднесемо обидві частини рівняння до квадрата. 8 = 16 +х+3-5х+1;

8 = 20 – 4х; 2 = 5-х; ; 4(х+3) = 25-10х+ ;

-14х+13=0; х₁=1, х₂=13.

Перевірка. х=1 – корінь; х= 13- сторонній розв’язок.

Відповідь: 1.

ПРИКЛАД 5. Розглянемо рівняння з кубічними коренями: .

()³=1³;

()³+3( ² + 3 )²+()³ = 1;

2х-1 + 3 () + х-1 = 1;

3 () = 1-2х+1-х+1;

3 *1 = 3 – 3х; = 1 – х;

( )³=(1 – х)³; (2х – 1)(х – 1) = (1 – х)³;

2х² – 2х – х + 1 = 1 – 3х + 3х² – х³; х³ – х² = 0; х₁=1, х₂=0.

Перевірка. Заміна порушує рівносильність, оскільки ця рівність виконується не при всіх значеннях х.

х=1 – корінь; х= 0- сторонній розв’язок.

Відповідь: 1.

 

Ще один метод розв’язування ірраціональних рівнянь – заміна змінної.

Якщо до рівняння змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз позначити новою змінною.

ПРИКЛАД 6. Нехай = t, тоді маємо Звідки

t₁=-4, t₂=2. Зробимо обернену заміну: = -4 – коренів немає; =2; х=2.

Відповідь: 2.

ПРИКЛАД 7. =4. Запишемо рівняння у вигляді: 3()² і зробимо заміну = t. Маємо: + t – 4 = 0; t₁=1, t₂ = .

Зробимо обернену заміну: = 1; х = 0; = – коренів немає.

Відповідь: 0.

ПРИКЛАД 8. Підкореневі вирази є взаємно оберненими, тому зробимо заміну , тоді , отримаємо рівняння t - = 1, розв’язавши яке отримуємо: t₁=-1, t₂=2. Виконавши обернену заміну, маємо х=2,5.

Відповідь: 2,5.

ПРИКЛАД 9. 2х²+6х -3 = 5. Запишемо 2(х²+3х) -3 = 5.

Заміна = t, тоді = t², звідки = t² , і рівняння приймає вигляд 2(t² )-3t=5, звідки t₁=1, t₂=0,5.

Зробимо обернену заміну: = 1,; х₁=1, х₂= -4; х₁=-1, х₂=3.

= ; х_1,2= .

Відповідь: 1;- 4; .

 

 

Завдання:

1) Розібрати приклади 1-4.

2) Розв’язати № 616(1,3), 618(1,3,7), №623 (1)

3) Розібрати приклади 6-8.

4) Розв’язати №641(1,2,5,9)

5) Розібрати приклад 5.

6) Розв’язати .

7) Розібрати приклад 9.

8) Розв’язати № 643(1,2)