Механічний та геометричний зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) Про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) Про відшукання дотичної до вільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб задана функцією відшукати іншу функцію , яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу . Вважаємо, що відстань S і час t – фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від до тіло пройшло шлях . Тоді

Означення. Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою .

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Означення. Миттєва швидкість тіла, що рухається вздовж лінії , називається похідна функції за часом :

.

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію , графік якої наведено на рис. 1. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута β, утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та , із додатнім напрямом осі Ох. Отже маємо:

.

Значення похідної в деякій точці дорівнює точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.