Правила диференціювання функцій. Похідні основних елементарних функцій

Похідна функції.

Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі точки х ₀. Надамо х ₀ приросту D х і розглянемо відповідний приріст функції D f (x ₀)= f (x ₀+D х)– f (x ₀).

Похідною функції y = f (x) у точці х ₀ називають границю відношення приросту D f (x ₀) функції до приросту D х аргументу, коли приріст аргументу D х прямує до нуля. Позначають або .

Отже, за означенням: = .

Якщо =¥, то кажуть, що функції f у точці х ₀ має нескінченну похідну.

Для знаходження похідної функції f у точці х ₀ за означенням потрібно виконати такі кроки:

1. Надати аргументу х ₀ приросту D х і знайти відповідний приріст функції D f (x ₀)= f (x ₀+D х)– f (x ₀).

2. Скласти відношення .

3. Знайти . Якщо ця границя існує, то вона є похідною функції f у точці х ₀, тобто = .

Нехай функція y = f (x) визначена на півінтервалі (на піввідрізку ). Вважають, що функція f у точці х ₀ має ліву (праву) похідну, якщо в цій точці існує ліва (права) границя:

.

Для того щоб у точці х ₀ існувала похідна , необхідно й достатньо, щоб у цій точці існувала ліва і права похідні цієї функції і щоб ліва похідна дорівнювала правій похідній.

Функцію, що має скінченну похідну в точці х ₀, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція диференційовна в точці х ₀, то вона є неперервною в цій точці.

Нехай D ₁ – множина точок, у яких функція f диференційовна. Поставивши у відповідність кожному числу х Î D ₁ число , одержимо нову функцію з областю визначення D ₁. Цю функцію називають похідною функції y = f (x) і позначають або , або .

Операцію відшукання похідної функції називають диференціюванням функції.

Геометричний зміст похідної: дорівнює кутовому коефіцієнту k дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х ₀, тобто =tg a, де a – кут між дотичною і додатним напрямом осі абсцис (рис.4.1).

Існування похідної функції f у точці х ₀ рівносильне існуванню дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х ₀.

Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х ₀: .

Механічний зміст похідної: якщо матеріальна точка рухається за законом , то дорівнює швидкості точки в момент часу , тобто ; якщо матеріальна точка рухається із швидкістю, що змінюється за законом , то дорівнює прискоренню точки в момент часу , тобто .

Економічний зміст похідної: якщо – кількість виробленої виробником продукції за час t, то дорівнює продуктивності праці виробника в момент часу , тобто .