Диференціал функції. Застосування диференціала до наближених обчислень. Похідні і диференціали вищих порядків

Нехай функція y = f (x) диференційована в точці х ₀. Похідна функції f у точці х ₀ визначається рівністю

. (4.1)

Оскільки – це , то відрізняється від на деяку нескінченно малу величину , яка прямує до нуля, коли . Тому рівність (4.1) можна записати у вигляді

= + , (4.2)

де , коли .

З (4.2) маємо

. (4.3)

Обидва доданки у рівності (4.3) є нескінченно малими величинами при .

Якщо функція y = f (x) диференційовна у точці х ₀, то добуток називають диференціалом функції f у точці х ₀ і позначають df (х ₀).

Отже,

df (х ₀)= . (4.4)

Тому рівність (4.3) можна записати так:

. (4.5)

Якщо f (x)= x, то . Отже, . Враховуючи це, рівність (4.4) можна записати у вигляді

df (х ₀)= . (4.6)

З рівності (4.5) випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала на нескінченну малу величину при . Тому

або або

, коли . (4.7)

За допомогою формули (4.7) можна обчислювати наближені значення функції у точках, близьких х ₀.

Використовуючи формулу (4.7) можна довести, що

. (4.8)

Зокрема, якщо , то

. (4.9)