Лекции.Орг
Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Электромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах



 

Плоская монохроматическая волна. Распространение электро­магнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле описывается уравнениями Максвелла в форме

 

(36)

 

и материальным уравнением

 

(37)  

где E и D - векторы напряженности и индукции; с - скорость света в ва­кууме, а по повторяющемуся (немому) индексу к предполагается сум­мирование. Предположение о прозрачности кристалла приводит к от­брасыванию в полных уравнениях Максвелла источников поля (плот­ностей заряда и тока). Свойство немагнитности (пренебрежение намаг­ниченностью) кристалла выражается равенством Н = В.

Связь (37) между векторами Е и D осуществляется при помощи тензора диэлектрической непроницаемости ). Понятие тензора возни­кает при установлении линейных соотношений между внешним воз­действием и реакцией на него в анизотропных средах. Скалярная вели­чина (температура, энергия) представляется тензором нулевого ранга, векторная величина (напряженность и индукция электрического поля) - тензором первого ранга. Физические свойства кристаллов описываются тензорами разного ранга: нулевого (теплоемкость), второго (диэлек­трическая проницаемость) и т.п. Связь между индукцией и напряжен­ностью электрического поля

определяет тензор диэлектрической проницаемости , связанный с из (37) равенством

 

 

(38)

 

Тензоры и обладают свойством симметрии относительно переста­новки индексов

Следует иметь в виду, что компоненты и тензоров и зави­сят, как и проекции , и векторов D и Е, от выбора системы коор­динат (базиса).

Если переменное электромагнитное поле распространяется в кри­сталле в форме плоской монохроматической волны, то для полей D, Е, Н будем иметь:

 

(39)

 

где - фазовый множитель; - фаза волны; - волновой вектор; - циклическая частота. Равенство

 

(40)

 

определяет форму фронта волны - поверхности равной фазы. Легко ви­деть, что (40) представляет уравнение плоскости, нормаль к которой (волновая нормаль) - вектор . Можно показать, что имеют место соот­ношения

 

 

(41)

 

где - фазовая скорость света в рассматриваемой среде; п - показатель преломления среды, зависящий от направления единичного вектора волновой нормали m; - волновое число в случае вакуума, когда п = 1; и - длина волны света в среде и вакууме соответственно.

Пространственно-временная зависимость (39) полей D, Е и Н в случае плоской монохроматической волны существенно упрощает

уравнения (36), поскольку действие операторов и на поля D, Е, Н

сводится к их действию на скалярную функцию . Это дает:

В силу этого для полей вида (39) устанавливается соответствие

 

(42)  

 

С учетом (42) уравнения (36) в случае (39) принимают вид:

 

(43)

 

 

Отсюда следует, что поля D, Е, Н имеют одинаковую фазу , причем векторы k,D,H0 взаимно ортогональны, а Е0 в общем случае ортого­нален лишь вектору Н0. Таким образом, поперечность электромагнит­ных волн в анизотропных средах сводится к тому, что векторы D() и

Н0 лежат в плоскости волнового фронта. Общий случай пространст­венного расположения векторов m,k,D(),H() и Е0, удовлетворяющих (41) и (43), изображен на рис.9.

Исключив из пары векторных уравнений (43) поле Н0 и поделив на , получим уравнение

которое после преобразования двойного векторного произведения при­нимает вид:

 

(44)

 

где - составляющая поля , лежащая в плоскости волнового фронта (см. рис.9).

Воспользовавшись материальным уравнением (37) и введя в рас­смотрение поляризацию вектора D0 (единичный вектор в направлении исследуемого поля)

,

вместо (44) запишем:

 

 

(45)

Векторному уравнению (45) соответствуют три (по числу проек­ций) скалярных:

 

(46)  

Уравнение (45) позволяет по известным оптическим свойствам среды (тензор ) рассчитать соответствующие им значения показателя

преломления п, а также векторы d для волн, распространяющихся в кристалле в направлении m .

Действительно, представив (46) в форме

 

 

(47)

 

 

придем к системе однородных линейных уравнений относительно неиз­вестных . Критерий

существования нетривиального решения системы (47) сводится к квадрат­ному уравнению относительно (дисперсионному уравнению). Это озна­чает, что в общем случае существует не более двух различных значений , обозначаемых посредством .Им соответствуют два значения показателя преломления - и два значения фазовой скорости - .

Подставив

в матрицу и решив систему (47) вместе с условием нормировки

d2 = 1, найдем поляризации и обеих мод плоской монохромати­ческой волны поля D.

Можно показать, что и ортогональны. С учетом вытекаю­щей из (43) ортогональности m и заключим: m, , взаимно ор­тогональны подобно m, D0, Н0. В случае, когда D0 коллинеарен вектору d0 = const, волна называется линейно-поляризованной.

Итак, при прохождении света через анизотропную среду в общем случае имеет место двойное лучепреломление - раздвоение луча, обус­ловленное зависимостью показателя преломления от поляризации d и направления m распространения волны. Проходящая через кристалл волна (39) распадается на две линейно-поляризованные волны, для ко­торых имеем:

(48)  

В любой оптически анизотропной среде существуют особые на­правления - оптические оси, - вдоль которых раздвоения луча не проис­ходит. По числу (не более двух) этих осей кристаллы подразделяются на одноосные и двухосные.

Оптическая индикатриса. Задача нахождения и может быть проиллюстрирована геометрическими построениями, опирающи­мися на использование характеристической поверхности

(49)

тензора , называемой оптической индикатрисой (или эллипсоидом Пуансо).

 

 

Приведение поверхности (49) второго порядка к каноническому виду (или, что то же самое, приведение матрицы [ ] к диагональному виду) дает:

(50)  

где , - собственные (главные) значения , соответственно. Главные оси индикатрисы (50) ортогональны. Длины ее полуосей именуемые главными показателями преломления, - характерные пара­метры вещества. Напомним, что они зависят от частоты колебаний электромагнитного поля (39). В таблице приведены некоторые данные о форме оптической индикатрисы и свойствах кристаллов.

Форма оптической индикатрисы Соотношение между Оптические свойства кристаллов
Сфера Изотропные
Эллипсоид вращения Одноосные
Трехосный эллипсоид Двухосные

 


На рис. 10 изображена оптическая индикатриса двухосного кри­сталла вместе с характерными плоскостями и осями.

Центральным сечением называется кривая, получаемая от пересе­чения с оптической индикатрисой плоскости волнового фронта, прохо­дящего через начало координат (точку 0 на рис. 10). В общем случае эта кривая - эллипс, все точки которого удовлетворяют одновременно и уравнению индикатрисы, и уравнению плоскости волнового фронта. Если по известному вектору m нормали к фронту волны провести через точку 0 ортогональную ему плоскость, то длины полуосей цен­трального сечения, соответствующего данному m, представляют пока­затели преломления, определяющие, согласно (48), фазовые скорости обеих линейно-поляризованных волн, распространяющихся в направле­нии m.

У оптически изотропных кристаллов (см. таблицу) индикатриса - сфера и все центральные сечения - окружности. Это означает, что пока­затель преломления (48) не зависит ни от направления m распростране­ния волны, ни от ее поляризации d:

 

(51)

 

Равенство вида (51) имеет место и для оптически анизотропных веществ, но лишь для одного (одноосные кристаллы) или двух (двухос­ные кристаллы) направлений вектора m. Направление нормали , для которого центральное сечение (см. плоскость на рис. 10) -


окружность, называется оптической осью (или бинормалью). На рис. 10 для направлений и справедливо равенство

Для одноосных кристаллов (два различных значения главных пока­зателей преломления) имеем:

в случае оптически положительных кристаллов:

(52)

в случае оптически отрицательных кристаллов:

(53)

Вследствие этого направления (оптические оси) и совпадают с большой ( ) главной осью эллипсоида (50) в случае (52) и малой ( ) - в случае (53). Таким образом, в одноосных кристаллах первый показа­тель преломления (53) не зависит от m, а второй - в разных направле­ниях различен. Первый показатель называют обыкновенным и обозна­чают ; второй - необыкновенным и обозначают , его значения зависят от направления распространения волны.

Фазовая и групповая скорости. В анизотропных средах векторы и Е0 в общем случае неортогональны, поэтому возникает необходи­мость введения, наряду с вектором m, нормали к фронту волны другого единичного вектора s (называемого лучевым, или лучом), ортогональ­ного векторам Е0 и Н0 (см. рис.9).

Вектор m задает направление перемещения фронта волны, т.е. на­правление фазовой скорости. По определению,

где величина фазовой скорости v находится из условия постоянства фазы для точек фронта волны. Продифференцировав обе части равенства (40), получим:

Отсюда с учетом (37), (38) и (41) найдем:

Важную роль в теории поля играет вектор Пойтинга

имеющий смысл плотности потока энергии. В рассматриваемом случае (39), (43) плоской монохроматической волны, распространяющейся в оп­тически прозрачной анизотропной среде, для лучевого вектора имеем:

Выразив Е0 и Н0 через D0 при помощи (37) и (43) и введя единичный вектор d, приведем s к виду

Отсюда с учетом ортогональности векторов и (45) найдем:

Таким образом, угол между векторами D0 и Е0 равен углу между векто­рами m и s.

Для описания процесса переноса энергии электромагнитной волны вводится вектор групповой скорости u. Его направление совпадает с на­правлением s. В рассматриваемом случае прозрачных немагнитных кри­сталлов фазовая и групповая скорости связаны равенством

(54)

 

В общем случае для групповой скорости имеем:

Для расчета необходимо знать решение дисперсионного уравнения типа (24).

В качестве альтернативного часто используется метод, основанный на принципе перестановочной двойственности, который в нашем случае сводится к следующему:

(55)

замена (55), осуществленная в соотношениях для волн, переводит их в соотношение для лучей (и обратно).

Замена (55), выполненная в (50), приводит к уравнению

характеристической поверхности тензора (в главных осях), име­нуемой эллипсоидом Френеля. Главные оси взаимно-обратных (38) тен­зоров и совпадают, однако длины соответствующих полуосей вза- имно-обратны. Построения на эллипсоиде Френеля идентичны построениям на индикатрисе (эллипсоиде Пуансо). Направления, пер­пендикулярные круговым сечениям эллипсоида Френеля, называются лучевыми оптическими осями, или бирадиалями. У одноосных кристал­лов бирадиали совпадают с бинормалями, а у двухосных лежат вместе с ними в плоскости оптических осей, которая ортогональна средней ( ) главной оси обоих эллипсоидов.

По заданному лучу s рассчитываются, подобно (47), (48), пара­метры луча:

 

(56)

 

Из (48),(54) и (56) следует

В заключение еще раз отметим, что оптические свойства крис­таллов в значительной мере определяются свойствами симметрии тен­зоров и и геометрией соответствующих им квадратичных форм.





Дата добавления: 2015-05-07; просмотров: 373 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

  1. B. Призма поглощает белый свет одной длины волны, а излучает свет с разными длинами волн. Г. Призма поглощает белый свет одной частоты, а излучает свет разных частот
  2. Билет №5. При выборе насосов и компрессоров для ОПО должны учитываться технические требования к безопасности оборудования для работы во взрывоопасных средах
  3. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга
  4. Гравитационные волны на мелкой воде
  5. Двухполупериодные выпрямители. Они используют обе полуволны питающего напряжения
  6. Для волны типа ТЕ01 магнитный вектор имеет у и z – составляющие
  7. Значения параметров волны затопления, приводящей к разрушению объектов
  8. Колебания и волны
  9. Количественное определение. Кислотно-основное титрование в неводных средах
  10. Краткие теоретические сведения. Электромагнитные поля, независящие от времени ( ), но связанные с движущимися зарядами , называются стационарными
  11. Механические и электромагнитные колебания
  12. Нормальные волны


© 2015-2017 lektsii.org - Контакты

Ген: 0.143 с.