Решение. Используем общее выражение (4.16), связывающее силу и потенциальную энергию взаимодействия в центральном силовом поле:

Используем общее выражение (4.16), связывающее силу и потенциальную энергию взаимодействия в центральном силовом поле:

.

Если положить, что U (r ® ¥) = 0, то получим .

Задача

4.3. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид:

U (r) = а / r ² - b / r,

где a и b – положительные константы. а) Найти значение r ₀, соответствующее равновесному положению частицы, б) выяснить, устойчиво ли это положение, в) найти максимальное значение силы притяжения, г) изобразить графики зависимости U (r) и F _r(r) – проекции силы на радиус-вектор r.

Решение

А) Силовое поле центрально-симметрично, т.е. энергия и сила взаимодействия частицы с полем зависят только от расстояния до центра этого поля. Для рассмотрения такого взаимодействия удобно использовать сферическую систему координат. Определим силу, воспользовавшись соотношением (4.5) и учитывая отсутствие зависимости от направления (q, j), так как поле центрально-симметрично:.

В положении равновесия, действующая на частицу сила должна быть равна нулю. Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем соответствующее равновесное расстояние:

.

б) Устойчиво ли это положение? Можно определить направление силы при малом отклонении частицы из найденного положения равновесия. Положение устойчиво, если сила направлена в сторону этого положения. Однако так как данное расстояние соответствует экстремуму потенциальной энергии взаимодействия , проще выяснить характер этого экстремума. Положение устойчиво, если потенциальная энергия минимальна и неустойчиво в противном случае. Определим знак второй производной потенциальной энергии при r = r ₀: