Работа силы, мощность, энергия

· А)Работа силы.

o Элементарной работой называется скалярное произведение вектора силы на вектор малого перемещения МТ d l*):

. (4.1)

Работа силы на конечном участке траектории 1 – 2 может быть найдена интегрированием вдоль траектории L движения МТ:

. (4.2)

Учитывая связь малого перемещения с мгновенной скоростью МТ d l = V dt, выражение (4.2) может быть записано в виде:

. (4.3)

o Скалярное произведение векторов силы и скорости позволяет определить мощность силы W:

. (4.4)

Очевидно, если векторы F и V перпендикулярны, мощность силы равна нулю, и работа не совершается.

Мощность можно определить и как работу, совершаемую в единицу времени:

. (4.5)

· Если МТ движется по окружности, то элементарная работа, совершаемая при малом угловом перемещении d a:

,

а при повороте радиус-вектора на конечный угол:

. (4.6)

· Б) Потенциальная энергия.

o Силы, работа которых не зависит от формы траектории движения МТ, а определяется лишь начальным и конечным положением МТ, называются потенциальными или консервативными. К этому классу относятся гравитационные, упругие и электростатические силы.

Для таких сил работа при перемещении МТ по замкнутой кривой L равно нулю. Математически это можно записать следующим образом:

. (4.7)

Для потенциальных сил можно ввести скалярную функцию координат U (x, y, z), частные производные которой определяют вектор силы F (x, y, z):

. (4.8)

Такая функция U называется потенциальной энергией МТ в поле сил. Работа, совершаемая потенциальной силой при элементарном перемещении МТ, равна:

. (4.9)

Для случая перемещения на конечное расстояние работа потенциальной силы определится через разность потенциальных энергий в начальном и конечном положениях МТ:

. (4.10)

Отметим, что измеряемые в опытах физические величины – сила и работа силы – равны производной и разности значений потенциальной энергии. Следовательно, функция U (x, y, z) определена с точностью до константы. Однако, если принять значение функции U (x, y, z) равным нулю в некоторой точке с координатами x ₀, y ₀, z ₀, то работа, совершаемая силовым полем по перемещению МТ в указанное положение

, (4.11)

будет целиком определяться введенной таким образом функцией U (x, y, z). При этом говорят, что потенциальная энергия нормирована в точке x ₀, y ₀, z ₀.

· В) Кинетическая энергия.

Если сила совершает работу при перемещении МТ под действием только этой силы, то происходит изменение модуля скорости. Можно доказать, что работа равна в этом случае:

. (4.12)

Введем понятие кинетической энергии МТ, определив ее как половину произведения массы точки на квадрат ее скорости:

. (4.13)

Тогда, изменение кинетической энергии МТ движущейся под действием силы определяется работой этой силы (равнодействующей):

. (4.13)

Кинетическую энергию материальной точки можно связать также с её импульсом:

.

Кинетическая энергия – аддитивная величина. Для системы материальных точек:

.

Если механическая система представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ, то его полная кинетическая энергия:

, или . (4.14)

Если тело совершает плоское движение:

. (4.15)

· Задачи этого раздела, как правило, связаны с нахождением конкретного выражения для потенциальной энергии силового поля или, наоборот, с определением векторной функции F (x, y, z) по известной зависимости потенциальной энергии от координат (формула 4.8).