Мультифракталдық спектр функциясы

Жалпы түсінік бойынша D_q шамалары, қатаң айтқанда, фракталдық өлшемділіктер емес. Сондықтан солармен бірге мультифракталдық жиынды сипаттау үшін мультифракталдық спектр функциясын f (a) қолданамыз. Оны мультифрактал сингулярлығының спектрі деп те атайды. Біз осы f (a) шамасын белгілі бір жалпы жиынның біртекті фракталдық L жиыншасының хаусдорфтық өлшемділігіне тең екенін көреміз. Ол q шамасын беру арқылы бүкіл статикалық суммаға үлкен үлесін қосады.

Өз-өзіне ұқсас жиындар үшін р_i d - ұяшық өлшеміне тәуелділігі дәрежелік мәнге ие болады:

 

(2.10)

 

мұндағы a_i – дәреже көрсеткіші (i- әр түрлі ұяшық үшін әрқалай). Біртекті фрактал үшін a_i дәреже көрсеткіштері бірдей және D фракталдық өлшемділігіне тең.

(2.11)

Бұл жағдайда статикалық сумма:

 

(2.12)

Сондықтан, бұл жағдайда, және барлық D_q=D фракталдық өлшемділіктеріне сәйкес келеді және q-дан тәуелді болмайды. Бірақ күрделі объект, яғни, мультифрактал үшін ол олай болмайды. Оның біртексіздігін ескере отырып, р_i ұяшықтарының толтырылу ықтималдылығы бірдей емес және a_i әр ұяшық үшін дәреже көрсеткіші әр мәнді беретін болады. Кейін біз бұл мәндердің бір жабық интервалды толтыратындығына көз жеткіземіз (a _min, a _max), демек

. (2.13)

 

Осы a мәндерінен t (q)функциясының туындысы арасындағы байланысты көреміз. Дәлірек айтқанда, q ®± . Болғандағы осы туындының “шегін” көреміз. Егер біз q ® деп алсақ, онда i бойынша суммалау кезінде тек ең көп орналасқан ұяшықтар үлес қосады. Әр ұяшық р _max максималды толтырылу ықтимадылықтарымен сипатталады. Суммада тек (саны N _max) (2.7)-гі алымы N _max , ал бөлмі N _max -ға тең болады деп ескерсек, онда іздеген туынды шегіміз a _min -ге тең болғанын көреміз.

Соған ұқсас егер q ®– болса, онда (2.7) суммалағанда тек ықтималдылығы р _min болатын ең аз орналасқан ұяшықтарды ескеру керек. Бұл жағдайда, -қа ұмтылғандығы мәлім. Сонымен қатар, біз негізгі шешімге келеміз, мұнда

 

(2.14)

 

Яғни, a болатын мәндерінің интервалы жалпылама фракталдық өлшемділік-тердің шектік мәндерімен анықталады (q ®± кезінде).

Енді a_i –дің әр мәндерінің ықтималдылық үлестірілуіне келейік. n (a) da

a_i –дің a мен a + da арасында болу ықтималдылығы болсын. Басқаша айтқанда, n (a) da p_i a_i өлшемдеріне ие осы интервалда жататын белгілі бір салыстырмалы ұяшықтар саны. a_i –дің әр мәндері D бірдей емес, әр түрлі f (a) дәреже көрсеткіштерінің мәндеріне ие болады.

. (2.15)

Осыған орай, f (a) функциясының мағынасы бір L, жиынның біртекті фракталдық жиыншасының L_a өлшемділігін білдіреді. Ол ұяшықтардың толтырылуының бірдей ықтималдылықтарын білдіреді. Жиынның фракталдық өлшемділігі сол жиынның фракталдық өлшемділігіне D ₀ тең не аз екендігін f (a) функция үшін мына теңсіздік көрсетіп тұр:

 

. (2.16)

 

Қорытындысында, біз мынадай шешімге келдік. f (a) функциясының әр түрлі мәндерінің жиыны біртекті L_a жиыншаларға бөлінген L жиынының фракталдық өлшемділіктер спектрі болып табылады. Осыдан, мультифрактал термині түсінікті бола бастайды. Оны L_a жиыншаларға бөлінген L жиынының әр түрлі біртекті фракталдар қосындысы деп түсінуге болады. Олардың әрқайсысында өзінің f (a) фракталдық өлшемділіктері болады.

Демек, әр жиыншаға тек бар ұяшықтар N (d) санының тек бір бөлігі ғана тиесілі болады. Ықтималдылықтарды нормалау шарты:

 

(2.17)

тек бір ғана жиынша бойынша ықтималдылық орындалмайды. Ол онда бірден аз болып қалады. Сондықтан, a_i мәнге сәйкес р_i ықтималдылық шамасынан аз болады. Ол шама осы жиыншаны құрайтын ұяшықтар санына кері пропорционал. Қорытындысында, біз f (a) үшін келесі негізгі теңсіздікке келеміз. Яғни, a- ның барлық мәні үшін

(2.18)

Теңдік белгі тек толық біртекті фракталға ғана тән, мұндағы f (a) = a = 0 [4].