Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. •.,.,-> „,... >₍, г>

 

Часть 1. Элементы математической логики

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

 

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи	Нестрогая
Сережа учится в школе или окончил ее	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая
Зелия движется по круговой или эллиптической орбите	Строгая
Числа можно складывать или перемножать	Нестрогая
Дети бывают или воспитанные, или не наши	?

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Далее под дизъюнкцией будем понимать нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ

Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;-• >i,;,,,

А	В	A vB

истинности: Пояснение:

 

Смысл высказываний А и В для указанных значений	Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	Ложь
«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	Истина

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция — это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

или и

V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» — «галочка вниз» — V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объедине­ния множеств.

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера—Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В та­кие же, как в выбранных строках. ^ _ _ч.'' ' * 'о L su J I J

30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой' логики

Графическая иллюстрация: •».*■.

^ '.

О©

А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе; A\jB — множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.

,}■ Пусть даны высказывания:

'■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».

>; В = На автостоянке стоят «Жигули».

■I)

i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или

«Жигули». v?;;

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автосто­янке одновременно.

^;.^- • '4', •

Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.

А	В	А у В

■■ Г
Таблица
истинности: Пояснение:

 

Смысл высказываний А и В для указанных значений	Значение высказывания На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули»
«Мерседес» не стоит	«Жигули» не стоят	Ложь
«Мерседес» не стоит	«Жигули» стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» не стоят	Истина
«Мерседес» стоит	«Жигули» стоят	Ложь •

глава 3. Логические операции ______________________________________ 31

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин­но, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера — Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

<ЗЭ

А — множество отличников в классе; В — множество спортсменов в классе;

А у В — множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

d 'W.C. J

Логическое следование (импликация) -wr™

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,

высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то...». ■

T;

Примеры импликаций: '

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:

смысленные с житейской точки зрения высказывания. i

ц

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия — Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А —> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33

 

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:.>--.< а «<,.<-. *>, _w '„ihw

_Л А = На улице дождь. >..;; j.„,,_|Г,.,, д

• В = Асфальт мокрый. ц

(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот­
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи­
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли­
вальная машина). _ъ.?; _t | _rfl ]

Таблица

А	В	А =>В

истинности: Пояснение:

 

Смысл высказываний ■ -^ t Aw. В для указанных. h, значений	Значение высказывания Если на улице дождь, то асфальт мокрый
Дождя нет	Асфальт сухой	Истина
Дождя нет	Асфальт мокрый	Истина
Дождь идет	Асфальт сухой	Ложь
Дождь идет	Асфальт мокрый	Истина

л,

Дано высказывание:

Если коровы летают, тф'Т^'2"~ 5.

Ль- -■ М- •.-

, -У ' ' '»■ 1.:'„•••.."itu'

Форма высказывания: если А, то В,

где

il,y,

А = Коровы летают = 0; В = (2 + 2 = 5) = 0.

На основании таблицы истинности определим значение высказыва­ния: 0 => 0 = 1, т. е. высказывание истинно.

В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее по­пробуем отобразить импликацию с помощью диаграммы Эйлера — Венна.

Графическая иллюстрация:

Г SOW!,чи ,^Т' /1

'?, Л ■ и '. 'Л \^и ч > < "Л

Лт С.Ч;':\0«1 '

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

 

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, проти­воречащих здравому смыслу.

 

(А = 0)п(В = 0)

(А = 0)п (В = 1)

(Л = 1)п(Я=1)

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединени­ем двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».

2---3886

Часть 1. Элементы математической логики^

Глава 3. Логические операции

 

Примеры эквивалентностей: '

1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пере­секаются..,,,

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или рав­номерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалент­ность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3.,,_;

Пояснение:

А	В	А<^В

Таблица истинности:

 

	Значение
	высказывания
Смысл высказываний	Число кратно 3
А и В для указанных < значений '*"	тогда и только тогда, когда
*	сумма его цифр делится нацело на 3
Число не	Сумма цифр не	Истина
кратно трем	кратна трем
Число не	Сумма цифр	Ложь
кратно трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр не	Ложь
трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр	Истина
трем	кратна трем

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказы­ваний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера — Венна выберем те строки таблицы истинности, в кото­рых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация: c~J_ ........ 1л...Li

 

,"Ь-Г

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция — способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >'i,_t

Таблица
истинности: ■■■• г —

А	А

Инверсия высказывания истинна, когда выс­
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■

! t ■.■ ' Н ■

Часть 1. Элементы математической логики

Г лава 3. Логические операции

 

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.

^; (Г'>*•„*

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

 

Таблица истинности:

 

А	В	А&В

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказы­вание ложно.

■ь • ь -'»", Ъ и " ' ■-."> i

Таблица истинности:

 

А	В	А<=>В

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

 

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».,

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.

Таблица истинности:

А	В	AvB

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и ис­тинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

>*. ■

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.

Опорный конспект «Свойства логических операций»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Инверсия истинна	тогда и только тогда, когда	высказывание ложно
Дизъюнкция ложнаКоньюнкция истинна	ложны
истинны
Дизъюнкция истиннаКонъюнкция ложна	истинно
ложно
Импликация ложна	из истинноговысказывания следует ложноевысказывание
Эквивалентность истинна	обавысказывания ложны или обавысказывания истинны

 

Таблица истинности:

V '

_lfri

 

 

А	В	А^В

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Ч1я' | ••; - • VI

...,...,.-.. if................... ►--,—

■*}■

<Ч. 1