Рентні платежі (ануїтети) та їх оцінка

Визначення майбутньої вартості потоку платежів. Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.

Майбутню вартість потоку платежів можна визначити за формулою:

 

(28)

 

де: F - майбутня вартість потоку платежів; С_t - сума платежу за рік t; r - відсоток, під який інвестується сума С_t; n - кількість років, протягом яких проводяться виплати.

Майбутня вартість звичайного ануїтету при нарахуванні складного відсотку один раз на рік. Виникають ситуації, коли отримують (або виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки.

Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Теорія ануїтетів є важливою частиною фінансової математики. Розрізняють два основних типи рент: безумовні й умовні ренти. Безумовні - ренти з фіксованим строком, тобто дати першої і останньої виплати визначені до початку ренти. Умовні ренти, в яких дата першої та останньої виплат залежить від деякої події. Рента називається звичайною (постнумерандо), якщо виплати здійснюються в кінці кожного періоду, і приведеною (авансованою, вексельною або пренумерандо), якщо виплати відбуваються на початку кожного періоду. В зв'язку з тим, що період ренти може співпадати або не співпадати з періодом нарахування відсотків, ренти класифікують на прості і загальні.

Як і для простої величини, для ануїтету можна визначити його майбутню і теперішню вартість.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожній платіж на період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Визначити майбутню вартість звичайного ануїтету можна за допомогою формули:

 

(29)

Перетворимо формулу (2.2.23) для одержання С:

 

(30)

 

Майбутня вартість звичайного ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік розраховується за формулою:

 

(31)

 

Майбутня вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Випадок, що розглядається, відрізняється від попереднього тим, що складний відсоток нараховується протягом року m разів, а платежі по ануїтету здійснюються тільки в кінці кожного року. Це означає, що відсотки по першому платежу нараховують з початку другого року і здійснюють m разів на рік тощо.

В даному випадку майбутня вартість ануїтету дорівнює:

 

(32)

 

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку один раз на рік. Оберненим до поняття майбутньої вартості ануїтету є поняття теперішньої вартості ануїтету. Це – теперішня, поточна або сьогоднішня вартість майбутніх рівномірних платежів, які здійснюють через рівні проміжки часу. Вона розраховується за формулою:

 

(33)

 

де: Р – приведена вартість ануїтету.

Формула приведеної вартості ануїтету може також використовуватися в тому випадку, коли позичальник бере кредит на умовах його погашення в майбутньому щорічними рівними платежами. Для цього з формули (1.28) виражають величину С:

 

(34)

 

де: Р – сума кредиту;

r – відсоток по кредиту;

С – платіж по кредиту;

N – термін дії кредиту.

Приведена вартість ануїтет при здійсненні виплат m разів на рік. Для випадку, що розглядається, приведену вартість ануїтету знаходять за допомогою наступної формули:

 

(35)

 

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік розраховується за формулою:

 

(36)

 

Довічна рента. Довічна рента, виплати якої не обмежені ніякими строками. Інша назва довічної ренти - перпетуїтет. Майбутню вартість такого ануїтету визначити неможливо, так як вона не є кінцевою величиною. Однак можна розрахувати приведену вартість довічної ренти, скориставшись формулою (36). Оскільки для такого ануїтету n → ∞, то набуває вигляду:

 

(37)

 

Прикладом довічного ануїтету є безстрокові облігації (наприклад, англійська безстрокова державна облігація (консоль), яка випущена у 18 столітті і по ній сплачується дохід кожні півроку) та привілейовані акції, що генерують доход невизначено тривалий час, тому їх поточна теоретична вартість визначається за формулою (2.31). Найбільш простим варіантом оцінки привілейованої акції є відношення величини дивіденду до ринкової норми прибутку за акціями даного класу ризику (наприклад, ставки банківського проценту за поправкою на ризик).

Доходність фінансових операцій. На фінансовому ринку інвестора цікавить результат його операцій. Результативність інвестицій порівнюють за допомогою такого показника, як доходність. Доходність – це відносний показник, що показує, який відсоток приносить 1 гривня інвестованих коштів за певний період.

Доходність за період. Доходність за період - це доходність, яку інвестор одержить за певний період часу. Вона визначається за формулою:

 

(38)

 

де: r - доходність за період;

Р - початкове інвестовані кошти;

Р_n сума, одержана через n років.

Доходність з розрахунку на рік. На фінансовому ринку виникає необхідність порівнювати доходності різних фінансових інструментів. Тому показником доходності, що зустрічається найчастіше, є доходність в розрахунку на рік. Він визначається як середнє геометричне, а саме:

 

(39)

 

де: r - доходність в розрахунку на рік; n - число років.

Розрахунок доходності при нарахуванні відсотків m разів за рік:

 

(40)

 

Якщо відсоток нараховується безперервно, то доходність в розрахунку на рік можна визначити за формулою:

 

(41)

 

де: r_n - доходність, виражена як відсоток, що нараховується безперервно.

До цього часу ми визначали показник доходності за операціями, які тривали більше року. Тому розрахунки здійснювались за формулами з використанням складного відсотку. Коли фінансова операція триває менше року, в розрахунках, як правило, оперують простим відсотком. Якщо бути більш точним, то більш суворим критерієм в цьому випадку виступає можливість на практиці інвестувати кошти з врахуванням складного відсотку.

Для короткострокових операцій доходність визначається на підставі формул:

 

або (42)

 

Для короткострокових цінних паперів також можна розрахувати ефективну доходність, тобто ефективний відсоток. Для цього можна скористатися наступною формулою (для прикладу візьмемо фінансовий рік, що дорівнює 360 дням).

 

(43)

 

де: r_еф - ефективна доходність в розрахунку на рік; t - період фінансової операції (час з моменту купівлі до продажу або погашення цінного паперу); r - простий відсоток в розрахунку на рік; г, - доходність за період t.

Відсоткові ставки та інфляція. Нерідко ринковій економіці властива інфляція. Тому для відсоткових ставок (відповідно для показника доходності) необхідно розрізняти номінальні і реальні величини, щоб визначити діючу ефективність фінансових операцій. Якщо темп інфляції перевищує ставку відсотку, яку одержує вкладник на інвестовані кошти, то для нього результат від фінансової операції виявиться негативним. Не дивлячись на те, що за абсолютною величиною (в грошових одиницях, наприклад, в гривнях) його кошти збільшаться, їх сукупна купівельна спроможність зменшиться. Таким чином, він зможе купити на нову суму грошей менше товарів та послуг, ніж на ті кошти, якими володів до початку операції.

Номінальна відсоткова ставка - це відсоткова ставка без врахування інфляції. В якості номінальних виступають відсоткові ставки банківських установ. Номінальна ставка свідчить про абсолютне зростання грошових коштів інвестора.

Реальна відсоткова ставка - це ставка, що скоригована на відсоток інфляції. Реальна ставка свідчить про приріст купівельної спроможності коштів інвестора.

Взаємозв'язок між номінальною і реальною відсотковими ставками можна представити наступним чином:

 

(44)

 

 

Вищенаведене рівняння називають рівнянням Фішера. Запишемо його в літерному позначенні:

 

1 + r = (1 + y)*(1 + i) (45)

де: r - номінальна ставка відсотку; у - реальна ставка відсотку; і - темп інфляції.

З рівняння (1.20) можна одержати реальну відсоткову ставку:

 

або (46)

 

Оцінка фінансових активів

Оцінка облігацій з купоном. Грошовий потік в цьому випадку складається з однакових за роками надходжень (С) і номінальної вартості облігації (М), які сплачуються в момент погашення.

 

(47)

 

Оцінка звичайних акцій з рівномірно зростаючими дивідендами. Ціну звичайних акцій з постійними темпами приросту дивідендів знаходять, спираючись на загальну схему оцінки фінансових активів, тобто шляхом складання дисконтованих грошових надходжень від володіння акцією.

 

(48)

 

Ця формула має зміст при r > g і носить назву моделі Гордона. Відмітимо, що показники r і g в формулах беруться в частках одиниці.

Визначення вартості дисконтного векселя. Дисконтні векселі котируються па підставі ставки дисконту. Вона говорить про величину знижки, яку продавець надає покупцю. Ставка дисконту вказується у відсотках до номіналу векселя як простий відсоток в розрахунку на рік. Ставку дисконту можна перерахувати в грошовий еквівалент за допомогою формули:

 

(49)

 

де: D - дисконт векселя;

N - номінал векселя;

d - ставка дисконту;

t - число днів з моменту придбання векселя до його погашення.

В знаменнику зазначається 360 днів, оскільки розрахунки з векселем здійснюються на базі фінансового року, який становить 360 днів.

Ставка дисконту визначається за формулою:

 

(50)

 

Визначення ціни векселя. Ціну векселя можна визначити, вирахувавши з номіналу величину знижки, а саме:

 

P = N – D (51)

 

де: Р - ціна векселя.

Якщо відома ставка дисконту, то ціна визначається за формулою:

 

(52)

 

Якщо інвестор визначив для себе значення доходності, яку б він бажав забезпечити по векселю, то ціну паперу можна розрахувати за формулою:

 

(53)

 

де: r -доходність, яку бажає забезпечити собі інвестор. (Якщо вкладник порівнює інвестиції у вексель з іншими паперами, для яких фінансовий рік становить 365 днів, то у формулі доцільно в знаменнику ставити цифру 365).

Визначення суми нарахованих відсотків і вексельної суми за процентним векселем. За процентним векселем нараховуються відсотки за ставкою, яка зазначається у векселі. Суму нарахованих відсотків можна визначити за формулою:

 

(54)

 

де: І - сума нарахованих відсотків;

N - номінал векселя;

С% - відсоткова ставка, що нараховується за векселем;

t_s - кількість днів від початку нарахування відсотку до його погашення.

 

Загальна сума, яку держатель процентного векселя отримає при його погашенні, дорівнює сумі нарахованих відсотків і номіналу, її можна визначити за формулою:

 

(55)

 

де: S - сума відсотків і номіналу векселя.

Визначення ціни векселя. Ціна векселя визначається за формулою:

 

(56)

 

де: Р - ціна векселя;

І - кількість днів від купівлі до погашення векселя;

r - доходність, яку бажав би забезпечити собі інвестор.

Визначення суми нарахованих відсотків і суми погашення банківського сертифікату. При погашенні сертифікату інвестор одержить суму нарахованих відсотків, яка визначається за формулою:

 

(57)

 

де: N - номінал сертифікату;

t - строк, на який випущено сертифікат.

Розрахунок відсотків за сертифікатом. Загальну суму, яку одержить вкладник при погашенні сертифікату, можна визначити за формулою:

 

(58)

 

 

Визначення ціни сертифікату. Ціна сертифікату визначається за формулою:

 

(59)

 

де: Р ціна сертифіката;

t - кількість днів з моменту купівлі до погашення сертифікату;

r - доходність, яку бажав би забезпечити собі інвестор.

 

Завдання

 

При розв’язанні задач рекомендується користуватися додатками А-Г.

 

Задача 1

Розрахуйте нарощену суму з вихідної суми в 20 000 грн. при розміщенні її в банку на умовах нарахування простих відсотків, якщо річна ставка 15%. а період нарахування 10 років.

 

Задача 2

60 000 грн. надані підприємству в кредит на 4 місяці з 1.05. цього року за ставкою 14 % річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення, якщо нарахування здійснюється з використанням: а) точних відсотків, б) приблизних відсотків.

 

Задача 3

50 000 грн. надані підприємству в кредит на шість місяців за ставкою 8% річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення.

Задача 4

250 000 грн. інвестовані на 4 роки під 6 % річних. Яку суму одержить інвестор в кінці строку?

Задача 5

На вклад до банку в розмірі 9 000 грн. строком на 5 років банк нараховує 18% річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) щопівроку; б) щоквартально?

Задача 6

Знайти нарощену за два роки суму при безперервному нарахуванні відсотків на 500 грн. за ставкою 6% річних.

Задача 7

Знайти річну ефективну відсоткову ставку, еквівалентну номінальній ставці 16 % при щоквартальному нарахуванні відсотків.

Задача 8

r_еф = 15%, нарахування проводяться раз у півроку. Визначити еквівалентний простий відсоток.

Задача 9

Нехай 6 000 грн. інвестовані на 1 рік і 4 місяці під складні відсотки за ставкою 22% річних. Знайти нарощену до кінця строку суму: а) за схемою складних відсотків; б) за змішаною схемою.

Задача 10

Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 5 000 і строком погашення 12 років, якщо прийнята норма прибутку складає 14%.

 

Задача 11

За який строк вклад в 8 000 грн. збільшиться в 3 рази при ставці 20% річних?

Задача 12

За який строк вклад в 5 000 грн. зросте до 13 500 грн. при ставці 25%?

Задача 13

Підприємством були інвестовані кошти на 5 років. В кінці першого року воно одержало 100 000 грн., в кінці другого – 200 000 грн., третього – 200 000 грн.; четвертого – 300 000 грн., п'ятого – 300 000 грн. та інвестувало суму кожного платежу під 28% річних до закінчення цього п'ятирічного періоду. Визначити майбутню вартість потоку платежів.

Задача 14

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2 000 грн. на умовах 9 % річних при щорічному нарахуванні відсотків. Яка сума буде на рахунку через 12 років?

Задача 15

Підприємство повинно погасити через 3 роки облігації на суму 5 000 грн. Визначити розмір щорічних відрахувань для формування викупного фонду, якщо дані кошти до моменту погашення облігації інвестуються під 30% річних.

Задача 16

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2 000 грн. на умовах 9% річних при щорічному нарахуванні відсотків протягом 12 років. Визначити приведену вартість ануїтету.

Задача 17

Ви позичили на чотири роки 10 000 грн. під 14% річних, що нараховуються за схемою складних відсотків на непогашений залишок. Повертати потрібно певними сумами в кінці кожного року. Визначити величину річного платежу.

 

Задача 18

Розрахувати поточну ціну безстрокової облігації, якщо річний дохід, що сплачується, складає 100 грн., а ринкова доходність - 12 %/

Задача 19

Підприємство має 10 000 грн. і бажає подвоїти цю суму через 3 роки. Яка доходність цієї операції?

Задача 20

Знайти вартість кредиту, вираженого річною відсотковою ставкою, якщо основна сума кредиту 30 000 грн., а сума при погашенні – 70 000 грн. Кредит виданий на 2 роки.

Задача 21

Знайти вартість кредиту, вираженого річною відсотковою ставкою, якщо основна сума кредиту 30 000 грн., а сума при погашенні – 70 000 грн. Кредит виданий на 2 роки з нарахуванням відсотків раз у півроку.

Задача 22

Знайти доходність інвестицій, виражену річною відсотковою ставкою, основна і нарощена суми яких складають 18 000 грн. і 16000 грн. відповідно. Термін інвестування 3 місяці. Фінансовий рік дорівнює 360 днів.

Задача 23

За даними задачі 23 визначити ефективну доходність операції.

Задача 24

Номінальна ставка відсотку дорівнює 12 % річних, темп інфляції 6%. Визначити реальну ставку відсотку.

Задача 25

Облігація номіналом 500 грн. з піврічним нарахуванням відсотків і купонною ставкою 10 % річних буде погашена через 6 років. Яка її поточна ціна, якщо ринкова норма прибутку 8 %?

 

Задача 26

Доходи та дивіденди на звичайні акції фірми щорічно зростали на 6 %. Найближчими роками сподіваються на збереження цих темпів приросту. Останній річний дивіденд становив 2,5 грн. на акцію. Визначити вартість звичайної акції фірми, якщо ставка доходу - 12 %.

Задача 27

Визначити величину знижки на вексель номіналом 5 000 грн. строком 35 днів, якщо ставка дисконту дорівнює 15 %.

Задача 28

Визначити ставку дисконту, якщо номінал векселя - 5000 грн.. дисконт векселя - 150 грн. До погашення залишилось 60 днів.

Задача 29

Оцініть поточну вартість векселя номіналом 2 500 грн. і строком погашення через 24 дні, якщо ставка дисконту - 9 %.

Задача 30

Номінал векселя дорівнює 2 500 грн., за векселем нараховуються 20% річних, з початку нарахування відсотків до моменту пред'явлення векселя до оплати пройшло 25 днів. Визначити суму нарахованих відсотків.

Задача 31

Сертифікат номіналом 5700 грн. з купоном 30% був випущений на 70 днів. Визначити суму нарахованих відсотків, які будуть сплачені при погашенні.

Задача 32

Сертифікат номіналом 5 700 грн з купоном 30% був випущений на 70 днів. За якою ціною інвестору потрібно купити сертифікат за 55 днів до погашення, щоб забезпечити доходність 36 %?

 

Література

[11, 13, 14, 15]

 

Модуль 1