Дизъюнкция и Сложение по модулю 2 (логическое Сложение)

(от лат. disjunctio — разобщение, обособление, различие), в естественном языке соответствует союзу или, выражающего альтернативность, или выбор.

 

В алгебре логики дизъюнкция это операция логики, отражающая употребление союза "или" в содержательных логических выводах. Различают соединительный ("или А, или В, или и то и другое вместе") и исключающий ("или А, или В, но не то и другое вместе") смысл союза "или". В традиционной логике это различие влечет выделение соединительно-разделительных и исключающе-разделительных суждений, в математической логике – различение слабой дизъюнкции (неразделительной дизъюнкции, или просто дизъюнкции) и сильной дизъюнкцией (разделительной, или сложение по модулю 2). В классической двузначной логике высказываний слабую дизъюнкцию можно рассматривать как операцию образования из произвольных высказываний А и В такого сложного высказывания которое истинно, если, и только если, истинно по крайней мере одно из составляющих высказываний, а сильную дизъюнкцию – как операцию образования такого высказывания, которое истинно, если истинно одно, и только одно, из высказываний А и В, и ложно в остальных случаях.

 

Обозначение

Слабую дизъюнкцию обычно обозначают А/В, А˅В, или А+В что читается "А или В"

Сильную – обозначают А +₂ В или А ≠ В, читается "либо А, либо В". Запись может быть префиксной ("польская запись") - знак операции ставится перед операндами (≠(А,В)), инфиксной - знак операции ста­вит­ся между операндами (А ≠ В) и постфиксной - знак операции ставится после операндов (А,В)≠. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее инфиксной записи.

 

Дизъюнкция
Таблица истинности	Диаграмма Эйлера-Венна
А В А ˅ В

Сложение по модулю 2
Таблица истинности	Диаграмма Эйлера-Венна
А В А +2 В

Сложение по модулю 2 для трех понятий
Таблица истинности	Диаграмма Эйлера-Венна
А В С ≠(А,В,С)

ИНВЕРСИЯ (Отрицание)

(от лат. inversio переворачивание, перестановка) В естественном языке соответствует словам неверно, что... или частице не;

В логике — специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание, свойства и роли которых существенно различаются.

1. Внешнее отрицание (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание. В классической логике высказываний формула -А истинна тогда и только тогда, когда формула А ложна.

2. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание

Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений («Иван не знает Петра»), или для образования отрицательной предицирующей (высказывающей) связки в составе категорических атрибутивных суждений. Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не» или близкие ей по смыслу («Все неспелые яблоки — зеленые»).

Обозначение

Для обозначений отрицания обычно используются символы «-» или «».

 

 

Таблица истинности	Диаграмма Эйлера-Венна
А А