Свойства математического ожидания

1.

 

 

2.

X			…
			…

 

CX			…
			…

3. Для независимых СВ , математическое ожидание

 

			…
			…

 

			…
			…

…

…

…

…

…

…

4. Аналогично можно доказать, что (независимость не нужна)

5. (следует из свойств 2,4)

6. Отклонением называется разность между СВ и ее математическим ожиданием: .

.

 

Пример 2.7. Найти , где - число появлений события в испытаниях, протекающих в одинаковых условиях.

Решение:

, где -число появления события в одном i-ом испытании.

; .

 

Дисперсия

В качестве характеристики рассеяния нельзя использовать отклонение, т.к. его математическое ожидание равно нулю. Из двух вариантов (и) выбора модуля отклонения и квадрата отклонения предпочтительней выбрать последний вариант.

Дисперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения данной СВ от ее математического ожидания.

Пример 2.8. Найти дисперсию СВ, заданной таблицей

	0,2	0,2	0,6

 

Решение:

Составим ряд распределения для СВ Х².

 

	0,2	0,2	0,6

,

.

Свойства дисперсии

1. .
2. /

.

Если , разброс СВ cX больше.

Если , разброс СВ cX меньше.

3. Для независимых и .

1. (с- постоянная).
2. .

Пример 2.9. Вычислить , если – число появления события в испытаниях.

Решение:

Найдем сначала для одного испытания

	1-р	р

; ;

Для испытаний

; ( - независимые)

 

Недостаток : ее размерность равна квадрату размерности СВ и ее математического ожидания. Поэтому вводят еще одну характеристику рассеяния.

Среднеквадратическое отклонение

,

Свойство : для взаимно независимых СВ

Другие числовые характеристики смотри ниже.

 

 

Непрерывные CB

Пусть CВ Х может принимать любое значение на отрезке . Такие CВ могут иметь либо непрерывную либо разрывную функцию распределения вероятностей . В дальнейшем под непрерывнойCВ будем понимать такую непрерывную CВ, которая имеет непрерывную функцию распределения.

Для непрерывных CВ функция распределения вероятностей обладает такими же свойствами, что и для дискретных. Кроме того, она обладает дополнительными свойством: вероятность того, что примет одно определенное значение равна нулю .

Доказательство:

.

Следует обратить внимание на то, что

· если событие А невозможно, то ;

· если ,то из этого не следует, что событие А невозможное.

Плотность распределения вероятности непрерывной CВ (Дифференциальная функция распределения)

Плотностью распределения вероятности непрерывной CВ называют первую производную функции распределения вероятностей

.

Из этого определения следует, что является одной из первообразных .

Свойства :

1. Т.к. неубывающая функция, то .