Алгебраическая форма
Запись комплексного числа 
в виде 
, 
, называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что 
):
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную 
и мнимую 
части комплексного числа выразить через модуль 
и аргумент 
(
, 
), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где 
— расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
42. Действия над комплексными числами
Сложение и вычитание
По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) +...+ (an + bni) = (a 1 + a 2 +...+ an) + (b 1+ b 2+...+ b n) i = a + bi
Операция введена, так как получили элемент того же множества.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) определяется из условия:
(x + iy) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + b 1 i).
Из правила сложения получаем:
x + a 2 = a 1,
y + b 2 = b 1.
То есть x = a 1 – a 2, y = b 1 – b 2 и разность
(a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = (a 1 – a 2) + (b 1 – b 2) i.
Умножение комплексных чисел
Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.
Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:
Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + iy.
Имеем 
.
Согласно определению умножения можем записать:
.
Распишем: 
,
,
.
Окончательно получим:
.
Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.
Если z = а + b i – комплексное число, то число 
называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом.
, но 
, следовательно, 
.
Деление комплексных чисел
.
Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a 1 + b 1 i) на другое комплексное число (a 2 + b 2 i), то есть найти 
, нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.
.
В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.
