Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис

Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис. 11), що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої (звідси і друга назва: метод дотичних).

Припустимо, що відділенням коренів знайдено початкове наближення х ₀ до кореню. В точці х ₀ розраховують ліву частину розв’язуваного рівняння , а також похідну в цій точці Наступне наближення до кореню знайдемо в точці х ₁, де дотична до функції , що проведена із точки , перетинає вісь абсцис. Отриману точку х ₁ приймають за начальну і продовжують далі ітераційний процес. З рис. 11 видно, що таким способом можна наближатися до кореню х *. При цьому з кожною ітерацією відстань між черговим x_{n +1} і попереднім x_n наближеннями до кореню буде зменшуватися. Процес уточнення кореню закінчується, коли виконується умова

де ε – допустима похибка визначення кореню.

З геометричних співвідношень (див. рис. 11) отримують основну формулу методу Ньютона

У загальному вигляді для n -го кроку ітераційного процесу це співвідношення запишеться наступним чином

Отже, на кожному кроці ітерації відбувається заміна графіка функції дотичною до нього.

Методу Ньютона притаманна висока швидкість збіжності ітераційного процесу (достатньо 5 – 6 ітерацій для досягнення абсолютної точності рішення 10^–5 – 10^–6.

Недоліком методу Ньютона є необхідність розрахунку на кожній ітерації не тільки лівої частини рівняння, але й її похідної.

Можна, дещо знизивши швидкість збіжності, обмежитися розрахунком похідної тільки на першій ітерації, а потім обчислювати лише значення , не змінюючи похідну . Цей алгоритм називають модифікованим методом Ньютона

Геометричний зміст модифікованого методу Ньютона продемонстровано на рис. 12.

Метод Ньютона можна застосовувати для уточнення коренів в області комплексних значень х, що необхідно при розв’язанні багатьох прикладних задач.

Метод січних

У методі Ньютона треба розраховувати похідну функції, що не завжди зручно. Якщо ітерації x_n і x_{n +1} розташовані достатньо близько одна до одної, то похідну в алгоритмі Ньютона можна замінити її наближеним значенням у вигляді відношення приросту функції і приросту аргументу . Отже, можна записати формулу методу січних

Для того щоб почати ітераційний процес, необхідно задати два початкових наближення х ₀ і х ₁. Потім кожне нове наближення до кореню отримують за вище написаною формулою. Процес уточнення кореню закінчується при виконанні умови

де ε – задана абсолютна похибка визначення кореню.

Ітераційні процеси, в яких для розрахунку чергового наближення потрібно знати два попередніх, називають двокроковими. Ця, нібито, невелика зміна в алгоритмі сильно впливає на характер ітерацій, тому метод січних дещо уступає методу Ньютона в швидкості збіжності, але він не вимагає обчислення похідної лівої частини рівняння.

Зазначимо, що геометричний зміст змін, внесених до алгоритму Ньютона, полягає в тому, що від апроксимації функції дотичною зроблено перехід до січної (рис. 13).

За алгоритмом метод січних близький до алгоритму методу хорд, але на відміну від методу хорд початкові наближення в методі січних можуть розташовуватися як з різних боків від кореню, так і з одного боку; крім того, при уточненні кореню не повторюються знаки функції .

Метод простих ітерацій

Замінимо рівняння рівносильним рівнянням . Цього можна досягти багатьма способами, наприклад, поклавши де – довільна неперервна знакопостійна функція.

Нехай ξ – корінь цього рівняння, а х ₀ – отримане якимось способом нульове наближення до кореню ξ. Підставимо х ₀ в праву частину записаного вище рівняння, отримаємо деяке число Виконаємо те ж саме з х ₁, отримаємо і т. д. Застосовуючи крок за кроком співвідношення для n = 1, 2, …, утворюємо числову послідовність х ₀, х ₁, …, х_n, яку називають послідовністю наближень або ітераційною послідовністю.

Процес побудови ітераційної послідовності має просту геометричну інтерпретацію (рис. 14).

Якщо ітераційна послідовність збігається, а функція неперервна, то ліміт послідовності є шуканим коренем рівняння.