Абсолютна та відносна похибки

Наближеним числом називається число, що незначно відрізняється від точного числа x і яке заміняє його в обчисленнях.

Якщо < x, то кажуть, що число наближене значення числа x з недостачею, а якщо > x, то з надлишком.

Різниця між точним числом x та його наближеним числом називається похибкою, яку будемо позначати літерою е з символом наближеної величини замість індексу, наприклад, е_х. Таким чином, якщо точне значення дорівнює х, то можна записати

У цьому виразі є абсолютна похибка, яка визначається як різниця між точним (істинним) значенням і наближеним.

Абсолютну похибку наближеного числа можна визначити, якщо істинне значення відоме.

Відносна похибка визначається як відношення абсолютної похибки до наближеного значення числа.

Здавалося б, що більш природно визначати відносну похибку, як відношення абсолютної похибки до точного значення, але, як правило, точне значення невідомо. Зазвичай відомим буває наближене значення величини і оцінка похибки або границі максимально можливої величини похибки. Якщо похибка мала, то різниця в визначеннях не позначиться на числовій величині відносної помилки.

Для величин, близьких за значенням до одиниці, абсолютна і відносна похибки майже однакові. Для дуже великих або для дуже малих величин відносна і абсолютна похибки представляються абсолютно різними числами.

Необхідно завжди вказувати, яка похибка мається на увазі – абсолютна або відносна, – якщо це не зрозуміло з умов задачі або з контексту.

Поширення похибок

Одним із важливих питань в числовому аналізі є питання про те, як похибка, що виникає в певному місці в ході обчислень, поширюється далі, тобто стає її вплив більше або менше в міру того, як виконуються наступні операції. Крайнім випадком є віднімання двох майже рівних чисел: навіть при дуже маленьких похибках обох цих чисел відносна похибка різниці може виявитися дуже великою. Ця велика відносна похибка буде поширюватися далі при виконанні всіх наступних арифметичних операцій.

В якості першого кроку при розгляді цього важливого питання необхідно знайти вирази для абсолютної і відносної похибок кожного з чотирьох арифметичних дій як функції величин, що беруть участь в операції, і їх похибок.

Складання. Є два наближення і до двох величин х і у, а також відповідні абсолютні похибки е_х і е_у. Тоді в результаті складання маємо

Похибка суми, яку позначимо через е_{х + у} , буде дорівнювати

Віднімання. Тим же шляхом отримуємо

Множення. При множенні матимемо

Оскільки помилки зазвичай набагато менше самих величин, то добутком помилок можна знехтувати. Будемо мати:

Помилка добутку дорівнюватиме

Ділення. Маємо

Перетворюємо цей вираз до виду

Множник, що стоїть в дужках, при можна розкласти в ряд

Перемножуючи і нехтуючи всіма членами, які містять добутки похибок або степені похибок вище першої, маємо

Отже

Необхідно чітко уявляти собі, що знак похибки буває відомий тільки в дуже рідкісних випадках. Не слід думати, наприклад, що похибка збільшується при складанні і зменшується при відніманні тому, що у формулі для складання стоїть знак плюс, а для віднімання – мінус. Якщо, наприклад, похибки двох чисел мають протилежні знаки, то справа буде обстоять саме навпаки, тобто похибка зменшиться при додаванні і збільшиться при відніманні цих чисел.

Після отримання формул для визначення абсолютних похибок при чотирьох арифметичних діях, досить просто вивести відповідні формули для відносних похибок. Для складання і віднімання формули були перетворені з тим, щоб в них входила в явному вигляді відносна похибка кожного вихідного числа.

Складання

Віднімання

Множення

Ділення

Дуже важливо чітко розуміти сенс цих формул поширення помилок. Починаючи арифметичну операцію, маємо в своєму розпорядженні два наближених значення і з відповідними похибками і . Ці похибки можуть бути будь-якого походження. Величини і можуть бути експериментальними результатами, що містять помилки; вони можуть бути результатами попереднього обчислення згідно з яким-небудь нескінченним процесом і тому можуть містити похибки обмеження; вони можуть бути результатами попередніх арифметичних операцій і можуть містити похибки округлення. Природно, вони можуть також містити в різних комбінаціях і всі три види помилок.

Вищенаведені формули дають вираз похибки результату кожного з чотирьох арифметичних дій як функції від , , і ; похибка округлення в даній арифметичній дії при цьому не враховується. Якщо ж надалі необхідно буде підрахувати, як поширюється в наступних арифметичних операціях похибка цього результату, то необхідно до обчисленої по одній з чотирьох формул похибки результату додати окремо похибку округлення.

Корисні поради