Вычисление площадей плоских фигур

Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел

 

Ранее рассматривались интегралы с конечными пределами и от ограниченных функций Если хотя бы одно из этих ограничений нарушается, то указанный интеграл будет несобственным. Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдём к их изучению.

Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1. Пусть функция интегрируема на любом отрезке Тогда если существует конечный предел то говорят, что интеграл сходится. При этом пишут Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы

(здесь произвольная конечная точка). Эти интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций.

Определение 2. Если функция не ограничена в окрестности точки (её называют особой точкой) и является интегрируемой на любом отрезке то по определению полагают Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл второго рода сходится. В противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода)

,

где в первом случае точка является особой, а во втором случае точка является особой. Поскольку заменой переменной интеграл второго рода ( особая точка) сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, что эталонный интеграл

Действительно, имеем

Переходя здесь к пределу при получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1. Пусть функции и интегрируемы на произвольном отрезке и имеют место неравенства Тогда если сходится интеграл то и сходится интеграл Если же интеграл расходится, то и расходится интеграл

Теорема сравнения 2. Пусть функции и положительны и интегрируемы на произвольном отрезке Пусть, кроме того, существует предел Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При примененииэтих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если при то при верны следующие соотношения:

const.

 

Например, интеграл сходится, так как и интеграл сходится (см. эталонный интеграл() и теорему сравнения 2).

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл Если последний интеграл расходится, а сам интеграл сходится, то его называют условно сходящимся интегралом. Нетрудно показать, что из сходимости интеграла вытекает обычная сходимость интеграла Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что интеграл сходится, а интеграл расходится. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем – условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл . Здесь подынтегральная функция изменяет знак на полуинтервале , поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интеграл Здесь подынтегральная функция неотрицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

 

Так как интеграл сходится, то и интеграл также сходится, а, значит, исходный интеграл сходится абсолютно.

Вычисление площадей плоских фигур

Из геометрического смысла определённого интеграла вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Если фигура задана неравенствами где функции непрерывны на отрезке то площадь этой фигуры вычисляется по

формуле Если фигура ограничена линиями причём функция знакопеременна и непрерывна на отрезке то её площадь равна

Действительно, фигуру можно перенести параллельно оси вверх и тогда она будет сверху и снизу ограничена линиями

Поэтому

Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка

на плоскости вполне однозначно определяется своим полярным радиусом

и полярным углом (считаем, что началу координат соответствует радиус и любой фиксированный полярный угол ). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнением Переход от декартовых координат точки к полярным осуществляется по формулам

Теорема 2. Пусть фигура задана в полярных координатах неравенствами причём функция непрерывна на отрезке Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле Если фигура описывается неравенствами

причём функции непрерывны на отрезке то её площадь вычисляется по формуле

Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме.

Теорема 3. Пусть фигура имеет границу заданную параметрически уравнениями

причём при возрастании параметра от к обход границы совершается так, что сама область остаётся слева от наблюдателя. Если при этом функции непрерывны на отрезке, то площадь этой фигуры вычисляется по формуле (здесь начало обхода, конец обхода границы ).

3. Вычисление длины дуги

 

Пусть на плоскости задана некоторая незамкнутая кривая (см. рис. Р16). Произведём разбиение

этой дуги на частичные дуги в каждую из которых впишем хорду . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Пусть длина хорды

Определение 3. За длину дуги кривой принимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е. Если кривая замкнутая, то разбивают её двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривые и и тогда

дл. дл. дл.

Теорема 4. Если дуга задана уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Доказательство. Произведём разбиение отрезка на частичные отрезки Это разбиение порождает разбиение дуги частичные дуги По определению 3 имеем Длина хорды равна (см. рис. Р17) величине

По теореме Лагранжа существует точка такая, что

поэтому Учитывая это, получаем, что

Теорема доказана.

Замечание 2. Величина называется дифференциалом дуги Учитывая, что её можно записать в виде Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами и “гипотенузой” Теперь формулу (1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга задана параметрически или в полярной форме. Из неё можно получить следующие утверждения.

Теорема 5. Если дуга задана параметрически уравнениями где функции непрерывно дифференцируемы на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Если дуга задана в полярных координатах уравнением где функция непрерывно дифференцируема на отрезке то её длина вычисляется по формуле

Действительно, если задана в параметрической форме, то

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга задана уравнением то её длина равна

Вычисление объёмов тел

 

С помощью определённого интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.

Теорема 6. Пусть тело заключено между плоскостями и а площадь его поперечного сечения плоскостью Если функция непрерывна на отрезке то объем тела вычисляется по формуле

Доказательство. Произведём разбиение отрезка

на частичные отрезки и обозначим диаметр разбиения . Плоскости разобьют тело на тела которые можно приближённо считать прямыми круговыми цилиндрами высотой и основаниями – кругами площади , где произвольная фиксированная точка отрезка , площадь поперечного сечения плоскостью . Объем тела приближённо равен сумме объёмов тел т.е. Это равенство будет те точнее, чем мельче разбиение , и при оно становится точным, т.е.

 

Теорема доказана.

Замечание 3. Если тело получено вращением криволинейной трапеции

вокруг оси , то объем этого тела вычисляется по формуле

Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса поэтому Аналогично вычисляется объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (конечно, в выписанных формулах для предполагается, что функции и непрерывны на соответствующих отрезках).