Уравнение плоской и сферической волн

При описании волнового процесса требуется найти амплитуды и фазы колебательного движения в различных точках среды и изменение этих величин с течением времени. Эта задача может быть решена в том случае, если известно, по какому закону колеблется и как взаимодействует со средой тело, вызвавшее волновой процесс. Однако во многих случаях не существенно, каким телом возбуждена данная волна, а решается более простая задача. Задано состояние колебательного движения в некоторых точках среды в определенный момент времени и требуется определить состояние колебательного движения в других точках среды.

Для примера рассмотрим решение такой задачи в простом, но вместе с тем важным случае распространения в среде плоской или сферической гармонической волны. Обозначим колеблющуюся величину через u. Этой величиной могут быть: смещение частиц среды относительно их положения равновесия, отклонения давления в данном месте среды от равновесного значения и т.д. Тогда задача будет состоять в отыскании так называемого уравнения волны – выражения, которое задает колеблющуюся величину u как функцию координат точек среды x, y, z и времени t:

u = u (x, y, z, t). (2.1)

Пусть для простоты u – это смещение точек в упругой среде, когда в ней распространяется плоская волна, а колебания точек имеют гармонический характер. Кроме того, направим оси координат так, чтобы ось 0х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности (семейство плоскостей) будут перпендикулярными к оси 0х (рис. 7), и поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение u будет зависеть только от х и t: u = u (x, t). Для гармонических колебаний точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 9), справедливо уравнение:

u (0, t) = A cos (ωt + α) (2.2)

y

x = cτ

x

0

Рис. 9. Колеблющаяся плоскость

 

 

Найдем вид колебаний точек плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время τ = х/с (с – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут иметь вид:

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси 0х, выглядит следующим образом:

(2.3)

Величина А представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начал отсчета х и t.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в квадратных скобках уравнения (2.3), положив

(2.4)

Продифференцируем это равенство по времени с учетом того, что циклическая частота ω и начальная фаза α являются постоянными:

откуда

(2.5)

Таким образом, скорость распространения волны с в уравнении (2.3) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. В соответствии с (2.5) dx / dt > 0. Следовательно, уравнение (2.3) описывает волну, распространяющуюся в направлении возрастания х, так называемую бегущую прогрессивную волну. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

(2.6)

и называется бегущей регрессивной волной. Действительно, приравняв константе фазу волны (2.6) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению:

из которого следует, что волна (2.6) распространяется в сторону убывания х.

Введем величину

(2.7)

которая называется волновым числом и равна количеству длин волн, укладывающихся на интервале 2π метров. С помощью формул λ = с/ν и ω = 2π ν волновое число можно представить в виде

(2.8)

Раскрыв скобки в формулах (2.3) и (2.6) и приняв во внимание (2.8), придем к следующему уравнению плоских волн, распространяющихся вдоль (знак «-») и против (знак «+») оси 0 х:

(2.9)

При выводе формул (2.3) и (2.6) предполагалось, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. Опыт показывает, что в поглощающей среде интенсивность волны по мере удаления от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны по экспоненциальному закону:

.

Соответственно, уравнение плоской затухающей волны имеет вид:

(2.10)

где A ₀ – амплитуда в точках плоскости х = 0, а γ – коэффициент затухания.

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, много больших его размеров, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника ωt+α. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, постоянной не останется – она убывает в зависимости от расстояния от источника по закону 1/ r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

(2.11)

где А – постоянная величина, численно равная амплитуде колебаний на расстоянии от источника, равном единице.

Для поглощающей среды в (2.11) нужно добавить множитель e^-γr. Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.11) справедливо только для r, значительно превышающих размеры источника колебаний. При стремлении r к нулю амплитуда обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения (2.11) для малых r.