Волновые пакеты и групповая скорость. Дисперсия

Ранее мы рассматривали только монохроматические волны, т.е. волны, имеющие одну частоту и длину волны. Значительно более общим является случай, когда волны существуют в виде набора или группы частотных гармоник. Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию групповой скорости.

Наиболее важные свойства таких пакетов могут быть выявлены при рассмотрении пакета волн, который представляет собой результат суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой, но с разными частотами, распространяющихся в одном направлении (сложение двух волн противоположного направления мы рассмотрели в разделе 6 – стоячие волны). Их смещения описываются формулами (2.9):

Для простоты подберем начальные условия такими, чтобы начальные фазы α₁ и α₂ в этих волнах были равными нулю.

Складывая эти смещения, мы получаем смещение результирующей волны аналогично тому, как получалось выражение для стоячей волны:

Пусть частоты складываемых волн приблизительно одинаковы, так что величина очень близка к частоте любой из двух компонентов. Но разность гораздо меньше, чем ω₁ и ω₂, поскольку мы предположили, что ω₁ и ω₂ приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусоидальная волна с частотой, более или менее равной первоначальной, но что амплитуда ее, имеющая максимальное значение 2 А, модулирована в пространстве и времени очень медленно меняющейся огибающей с частотой ω₁-ω₂/2 и волновым числом k ₁- k ₂/2 (рис. 7.1).

Скорость новой волны равна:

где мы использовали связь (2.8) между волновым числом, частотой и фазовой скоростью бегущей волны: ω₁ = сk ₁, ω₂ = сk ₂. Следовательно, частотные гармоники и их сумма, т.е. пакет, будут распространяться с одинаковой скоростью, причем профиль пакета не изменяется. Интенсивность новой волны максимальна всегда, когда амплитуда имеет максимальное значение 2 А. Это происходит дважды за период, определяемый частотой ν₁- ν₂ (здесь нетрудно усмотреть аналогию с явлением биений, наблюдающихся при сложении двух колебаний с почти одинаковыми частотами ν₁ и ν₂). Таким образом, частота биений интенсивности равна разности частот гармоник ν₁- ν₂. В приведенном здесь примере, где амплитуды гармоник равны А, суммарная амплитуда будет меняться от 0 до 2 А. В этом случае говорят о полной, или 100%-й модуляции.

Колебания с частотой

Огибающая с частотой

Теперь предположим, что две гармоники, рассмотренные выше, имеют разные фазовые скорости и ω₁/ k ₁ ≠ ω₂/ k ₂. Скорость перемещения максимума амплитуды пакета, т.е. так называемая групповая скорость