Поиск: Рекомендуем: Почему я выбрал профессую экономиста Почему одни успешнее, чем другие Периферийные устройства ЭВМ Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки) Категории: Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника

Главная О нас Популярное ТОП Новые страницы Случайная страница Контакты FAQ ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ Пример построения эпюр ВСФ Раздел 7. Сложное сопротивление бруса   До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда ; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой. На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.   Определение внутренних силовых факторов (ВСФ) При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось всегда вдоль оси бруса, оси и – в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат ): продольная сила, поперечная (перезывающая) сила вдоль оси , поперечная сила вдоль оси , изгибающий момент относительно (вокруг) оси , изгибающий момент относительно оси , крутящий (относительно оси ) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее (1.5) шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую): (7.1) На рис. 7.1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса. Рис.7.1 Левой отсеченной частью условно будем считать ту часть бру-са, у которой нормаль к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ). В сечении левой части: направлены вдоль осей соответственно; , если с концов осей и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и соответственно. В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 7.1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 7.1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил для левой и правой частей в уравнениях (7.1) положительны, если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями и на рис. 7.1). С учетом этих правил по формулам (7.1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса. При построении эпюр по формулам (7.1): Р3 Р2 Р1 Рис.7.2

Эп. строится в любой плоскости ( или ), обязательно указать знак; Эп. в плоскости , положительные значения откладывать вдоль направления оси ; Эп. в плоскости , вдоль оси ; Эп. строится в плос-кости изгиба бруса ,

вдоль оси ;

Эп. в плоскости , вдоль направления оси ;

Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.

Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90°(ломанный брус) и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат (т. центр тяжести поперечного сечения бруса, оси и главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси к оси с конца оси виден против хода часовой стрелки).

Пример построения эпюр ВСФ

Рассмотрим «ломанный брус», показанный на рис. 7.2.

Исходные данные:

кН, кН, кН, кН/м, , , , , м

Из рис. 7.2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( или ). Выберем участок длиной . Ось вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. на расстоянии от т. а и проведем оси и так, чтобы с осью они составили правую систему координат . Для записи уравнений (7.1) выгоднее рассмотреть часть бруса с известными нагрузками . Внешняя нормаль к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (7.1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок и в сечении оси и ось . Проще рассмотреть участки и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием , причем . Далее оси перемещаем на III участок и в сечении проводим оси и . Положение сечения определим расстоянием () и рассмотрим правую часть , т.к. нормаль в сечении направлена против оси . На IV участок оси переводим из положения поворачивая их в т. С вокруг оси , ось вдоль стержня . Проводим произвольно сечение в т. , в котором располагаем оси и . Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием (), эта часть бруса будет «левой», т.к. направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).

Для каждого участка бруса запишем формулы (7.1), по которым построим все эпюры ВСФ:

I участок (левая часть)

кН

кН

кН

– линейная зависимость:

Считаем:

Считаем

По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис.7.3 по вышеуказанным правилам.

II участок (левая часть)

кН

кН

– линейная зависимость

Считаем:

квадратная парабола

Считаем

Считаем

Строим эпюры на II участке

III участок (правая часть)

Считаем

Считаем

.

Строим эпюры на III участке.

IV участок (левая часть)

линейная зависимость

Считаем

линейная зависимость

Считаем

Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 7.3 (1÷6).

По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломанного» бруса и величины всех ВСФ в них.

Рис.7.3

Типы сложного сопротивления бруса:

Косой изгиб: обязательно .

Изгиб с кручением: обязательно или или оба .

Внецентренное растяжение (сжатие): обязательно , .

Другие комбинации ВСФ относятся к общему случаю сложного сопротивления бруса.

Определим тип сложного сопротивления, найдем опасное (расчетное) сечение на каждом участке бруса из анализа полученных эпюр рис. 7.3.

I участок: Здесь косой изгиб и сжатие. Опасное сечение при , где: , , , , , .

II участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

III участок: Здесь косой изгиб. Опасное сечение , где: , , , , .

IV участок: Здесь косой изгиб с кручением и растяжением. Опасное сечение при , где: , , , , , .

Т.к. в опасном сечении , то расчет этого сечения можно вести по формулам плоского изгиба.

Определение напряжений

Ранее получены формулы для определения от и : , . По аналогии можно записать формулу для от (а). В этих формулах х и у координаты точки сечения бруса, где определяется . Очевидно, что при (сжатие) получается. Поэтому в формуле (а) стоит знак минус. При одновременном действие в сечении бруса , и суммарные напряжения в любой точки сечения с координатами х и у можно определить так

(7.2)

Это одна из основных формул сопротивления материалов. В (7.2) , , и координаты точки сечения х и у надо подставлять со своими знаками. Если получится, значит в этой точке сечения – растяжение, если то сжатие. Это важно при оценке прочности хрупких материалов.

От в сечении бруса возникают , определяемые по известной формуле Журавского . Аналогично, от возникают , определяемые по формуле . От кручения круглых валов возникают , определяемые известной формулой . Направления касательных напряжений от , и были выяснены раньше. В каждой точки сечения эти напряжения надо суммировать геометрически (векторно), т.е. суммарные напряжения

tS t0

Рис.7.4

Рассмотрим подробнее частные случаи сложного сопротивления бруса.

I. КОСОЙ ИЗГИБ

Здесь в поперечных сечениях бруса могут быть , , , а . Косой изгиб может быть чистым, когда вдоль бруса отсутствуют = и поперечным, когда и , а переменны по длине бруса. Косой изгиб может быть плоским, когда вся внешняя нагрузка лежит в одной плоскости и не плоским, когда нагрузки в плоскостях и изменяются произвольно по длине бруса.

Величины и знаки , , и в любом сечении бруса определяются из эпюр. Введем понятие полный изгибающий момент, определяемый так

(7.3)

Если и представить в виде векторов (длина векторов определяет величину и , а направления по правилу правого «буравчика»), то есть геометрическая сумма и , что показано на рис. 7.5. Положение удобно определять углом , который он составляет с осью ( отсчитывается от оси против хода часовой стрелки). Из рис. 7.5 видно:

Рис.7.5

(1) Отсюда (2) Нормальное напряжение в любой точки сечения с координатами и определяется по формуле (7.2), полагая в ней (7.4)

С учетом (1) (7.5)

Рис.7.6

В формулы (7.4) и (7.5) все надо подставить со своими знаками: знаки и берутся из эпюр, всегда. Величина и знак определяется из формулы (2). Во многих случаях известны величина и направле-ние поперечной нагрузки ( или ), направлениях их будем определять углом , отсчи-тываемый от оси (рис. 7.6),

против хода часовой стрелки. В произвольном сечении балки на расстоянии от торца от возникнет , который с направлением составляет угол 90°, а с осью угол , т.е. . Зная и , можно вычислять по (7.5). Но проще силу разложить по осям и , т.е. , (видно из рис. 7.6). От строят эпюру , а от эпюру и далее определяют по формуле (7.4). Аналогично и от погонной нагрузки : , от эпюру , от эпюру .

Нейтральная ось (Н.О)

Нейтральная ось – линия в сечении балки, относительно которой сечение поворачивается, оставаясь плоским (гипотеза Бернулли). Обозначим координаты точек на нейтральной оси через . Согласно определения Н.О в этих точках . Подставляя , в (7.5), сокращая на получим

(3)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой линии проходящей через начало координат, т.к. при должно быть . Положение Н.О удобно определять через угол ее наклона к одной из осей координат. Обозначим угол наклона Н.О к оси (рис. 7.7), против хода часовой стрелки.

Рис.7.7

Из рис. 7.7 видно (4) Из (3) следует (5) С учетом (4) получим (7.6) Плоскость изгибающей нагрузки перпендику-лярна , а плоскость изгиба (прогибов) пер-

пендикулярна Н.О. При эти плоскости не совпадают , поэтому эту деформацию и назвали «косой изгиб». При (сечение квадратное, круглое и т.д.) и косого изгиба не будет.

Определение напряжений. Расчеты на прочность.

а

Рис.7.8

Далее точки соединяют прямыми линиями, т.к. из (7.4) и (7.5) видно, что линейны по координатам и . Итак, Н.О делит сечение на две зоны, растянутую и сжатую (–) (рис. 7.8).

Для построение эпюры перпендикулярно Н.О проводят линию . В т. «» в масштабе откладывают , а в т. «а» и далее соединяют их прямой линией.

Из эпюр видно, что экстремальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от Н.О. Это будут т.1 и т.3. В них и по (7.4)

где

Итак, в т.1 и т.3 сечения равны по величине и противоположны по знаку

(7.7)

Здесь знак выбирают по физическому смыслу, в растянутой зоне, (–) в сжатой. Аналогично определяются в других сечения с выступающими углами.

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности в опасном сечении бруса можно записать так с учетом (7.7)

(7.8)

При подборе размеров сечения балки используем вторую формулу (7.8), при этом надо задать отношение с учетом рационального расположения сечения: для прямоугольника при (размер вдоль оси ) если то ; если , то размер вдоль оси (т.е. повернуть на 90°) и . Условие прочности одно, а неизвестных два и , поэтому сами задаем отношение . Зная по (7.8) вычисляем необходимый , а по нему размеры и с учетом отношения . При подборе стандартных двутавров и швеллеров аналогично: если сечение располагаем вертикально, как в таблицах ГОСТа и берем: для двутавров , для швеллеров ; если сечение располагаем горизонтально и для двутавров , для швеллеров . Далее по (7.8) находимый необходимый и по нему стандартный номер профиля (в первом случае , во втором ). Определив номер профиля, делаем его проверку по первой формуле (7.8), подставляя табличные значения и из ГОСТа с учетом вышеуказанного в скобках. Можно учесть , добавив .

Для произвольного сечения условия прочности имеют вид : надо найти наиболее удаленные от Н.О точки сечения, найти в них и сравнить их с допускаемыми.

Для балок из хрупких материалов отдельно делается проверка прочности в растянутой (р) и сжатой (сж) зонах, т.к. для них . Размеры произвольного сечения определяются методом попыток (подбором). При каждой попытке необходимо уточнить положение Н.О и координаты точек сечения с .

Определение прогибов

Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение . Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложеним прогибов и в каждом сечении: . Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.

II. Внецентренное сжатие (растяжение)

аx аy Рис.7.9

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил , приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О – центром тяжести сечении (рис. 7.9). При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом , причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Определение напряжений

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 7.9). Перенесем силу сначала на ось (плечо ), а затем в т. О (плечо ). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

(6)

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (7.2)

(7)

Подставляя (6) в (7) получим

(7.9)

Учитывая, что и подставляя в (7.9)

(7.10)

В произвольных случаях нагружения в формулы (7.9) и (7.10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и . при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Нейтральная ось (Н.О)

Обозначим координаты точек на Н.О через . В этих точках . Подставляя и в (7.10) и сокращая на получим

(7.11)

Это уравнение Н.О. Видно, что это уравнение прямой ( и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при ). Положение Н.О удобно определять отрезками и , которые Н.О отсекает на осях координат (рис. 7.9) и проходит через т. «» и т. «». Допустим пока, что и . Точка «» в этом случае имеет координаты . Подставляем это в (7.11) получим

Отсюда

(7.12а)

Аналогично т. «». Подставляя найдем

Отсюда

(7.12в)

Из (7.12) видно, что при и получим и , т.е. наше допущение неверно и правильно Н.О показана на рис. 7.9.

Свойства нейтральной оси

Из формул (7.12) следует:

1. Положение Н.О не зависит от величины и знака .

2. Н.О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.

3. При удалении полюса от т. О, Н.О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н.О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси , , т.е. Н.О параллельна оси или перпендикулярна оси ).

5. При вращении Н.О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (7.11) . Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.

6. Н.О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 7.9 при .

Из соотношений (7.12) можно решить обратную задачу: зная положение Н.О (т.е. и ) найти положение полюса, т.е. и

(7.13)

Расчеты на прочность

Определив положение Н.О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н.О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и . Если в т. «Р» действует , то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (7.9) или (7.10):

(8)

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут , в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н.О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых , первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (7.8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (7.8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения

Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т.д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н.О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

а Рис.7.10

Ядро сечения – это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака ). Если полюс «Р» располо <== предыдущая лекция | следующая лекция ==> Видоизменения клеточной оболочки | Сезім мүшелері арқылы көрінген мұғжизалар Поделиться с друзьями: Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1009 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения: Ваше время ограничено, не тратьте его, живя чужой жизнью © Стив Джобс ==> читать все изречения... 1710 - | 1697 - © 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление