Раздел 1. Физические основы механики. 1 страница

Задача №1

Шар массой m₁ = 5 кг движется со скоростью V₁ = 1 м/с и сталкивается с неподвижным шаром массой m₂ = 2 кг. Определить скорость u₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

 

 

v₁

m₁ m₂

 

 

Решение.

 

Поскольку удар прямой и центральный, то после удара шары не изменяют состояния вращения и движутся по одной прямой. Поскольку удар абсолютно упругий, то выполняется закон сохранения энергии, в данном случае кинетической.

Справедлив также закон сохранения импульса:

 

(1)

Начальный импульс системы до удара: , т.к. второй шар покоится. После удара: .

Проектируем (1) на направление удара:

m₁V₁ = m₁u₁ + m₂u₂ (2)

Закон сохранения энергии:

` (3)

Решая совместно (2) и (3), находим u₁ и u₂.

Задача №2

Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения перекинутой через него нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определить силы натяжения Т₁ и Т₂ нити по обе стороны блока и силу давления блока на ось.

 

m

 

 

m₁

m₂

Решение.

На груз действуют силы тяжести и силы натяжения нитей. Поэтому уравнение движения грузов заключается как уравнение поступательного движения:

Т₁ – mg = m₁a, (1)

m₂g – T₂ = m₂a, (2)

знаки расставлены с учетом направления движения.

Блок приходит во вращательное движение под действием моментов сил натяжения нитей Т₁ и Т₂. Силы натяжения Т₁ и Т₁^|; Т₂ и Т₂^| равны по модулю, т.к. нить считается не имеющей массы. Плечо сил Т₁^| и Т₂^| равно радиусу блока. Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид:

Ie = Т₂^|R- Т₁^|; |Т₁^|| = |Т₁| и |Т₂| = |Т₂^||; (3)

где I – момент инерции блока (диска)

;

e - угловое ускорение, связанное с линейным ускорением а зависимостью (проскальзывания нити по блоку нет):

.

Подставим I и e в (3):

; или ; (4)

Для нахождения натяжения нитей необходимо решить систему уравнений (1), (2) и (4), в которых неизвестно а.

Сложим (1) и (2):

и подставим это выражение в (4):

.

Найдем отсюда а:

.

Из (1) находим Т₁

Из (2) находим Т₂

Силу, давления на ось определим из равенства:

N = T₁ + T₂ + mg:

Ответ: Т₁ = 3,92 Н; Т₂ = 4,58 Н.

 

Задача №3

Зависимость скорости материальной точки от времени представлена на графике. Найти и изобразить зависимость всех кинематических величин, описывающих движение, от времени.

 

Решение.

 

Зависимость представлена графиком

0 - t₁ – равноускоренное движение , ускорение ;

t₁ - t₂ – равномерное движение вдоль прямой ;

t₂ - t – равнозамедленное движение .

Рассмотрим перемещения. При одномерном движении перемещение и координата тождественны и нет нужды вводить вектор.

- общая формула для перемещения при равнопеременном движении. Для правильного применения формулы необходимо соблюдать правило знаков:

Выбираем ось Х, задаём векторы начальной скорости и скорости ускорения. Если направление скорости совпадает с направлением оси ОХ, то знак перед скоростью берём (+), если нет - (-). То же самое относительно ускорения.

Запишем закон перемещения материальной точки на участке 0 - t₁:

X₀ - начальная координата точки из графика не находится, поэтому эта величина должна быть задана дополнительно. Пусть Х₀ задано и является отрицательным числом. В момент t будем считать

На промежутке t₁ - t₂: Х = Х₀ + u t т.к. а = 0

- линейная зависимость от времени

t > t₂, равнозамедленное движение:

-параболическая зависимость от времени.

По графику строим график Х(t). Вершина параболы будет в той точке t, в которой . Это точка t₄.

т.к. скорость это производная от перемещения по времени. Движение равнозамедленное, значит график - парабола, ветви направлены вниз, вершина там, где u = 0 т.е. в t₃

Построим график зависимости а(t)

В t₁ и t₂ ускорение не определяется, т.к. невозможно провести касательную к графику скорости в этих точках, поскольку ускорение невозможно поменять мгновенно, как и скорость.

Геометрический смысл перемещения на графике u(t).

Если функция гладкая, то с заданной точностью её всегда можно представить в виде отрезков прямых, ломанных или ступенчатых.

Но такие ступеньки представляют собой график равномерного движения, то тогда , но на этом графике - это площадь соответствующего прямоугольника. Таким образом, геометрический смысл перемещения материальной точки - площадь под кривой на графике u(t).

Аналогично, т.к. u = at, то геометрический смысл скорости на графике a(t) это тоже площадь под кривой a(t), т.к. движение с произвольным ускорением с заданной наперед степенью точности можно представить как движение с постоянным ускорением на отдельных элементарных участках.

Вернёмся к графику u(t). Видно, что в момент t₄ u = 0, а затем поменяла знак, следовательно, перемещение может быть равно 0 как и в задаче, значит мы обязаны считать площадь S₁ со знаком плюс, где v(t) > 0. S₂ со знаком минус, где v(t) < 0, но тогда перемещение за время Т

Путь, пройденный материальной точкой – еще одна кинематическая характеристика движения. По определению, путь – это длина траектории, повторенная столько раз, сколько раз по траектории проследовала материальная точка. Из определения следуют свойства пути:

а) путь, всегда скалярная положительная величина;

б) путь может только нарастать со временем.

График зависимости пути от времени получается из графика зависимости перемещения от времени путем смещения оси времени t вверх или вниз с тем, чтобы путь S при t = 0 также равнялся нулю. Кроме того функцию S(t) необходимо сделать нарастающей. Для этого спадающие вниз ветви функции перемещения х(t) (у нас - параболы) необходимо отразить от горизонтальной оси t так, чтобы они стали нарастающими (см. рис. на обложке).

На графике v(t) всегда справедливо, что

S(t) = |S₁(t₁¸t₂)| + |S₂(t₂¸t₃)| + … + |S_n(t_n-1¸t_n)|.

.

График зависимости ускорения от времени строится аналогичным образом. В тех точках, где график скорости претерпевает излом, ускорение не определено. Следовательно, движение нашим графиком v(t) задается не вполне корректно.

 

Задача №4

Движение тела брошенного под углом к горизонту.

Рассмотрим движение материальной точки (м.т.) в однородном гравитационном поле, т.е. в таком, в котором в любой точке пространства вектор ускорения свободного падения одинаков и по величине, и по направлению. Пусть м.т. начинает движение из начала координат со скоростью u₀ под углом к горизонту a₀ (ось х), а вектор направлен вертикально вниз (ось у – направлена вверх). Это движение не по одной прямой и не по окружности, но это движение в плоскости. Для решения таких задач, как и в общем случае, используется принцип независимости движений. В нашем случае это сложное плоское движение можно представить как результат сложения двух движений: равномерного прямолинейного движения вдоль оси х и равнопеременного движения вдоль оси у. Такое представление возможно потому, что это движение описывается вектором перемещения (или радиус-вектором), а любой вектор можно разложить по любым двум произвольным направлениям.

 

 

Запишем закон равномерного движения по оси х.

(1)

(2)

По оси у закон равнопеременного движения имеет вид:

(3)

(4)

Прежде всего, определим время подъёма тела на максимальную высоту. Очевидно, тело будет подниматься до тех пор, пока V_y не обратится в нуль, т.е.

; – время подъема;

(5)

Можно показать, что время спуска будет таким же. Тогда полное время движения будет равно.

.

За время t подъёма, тело поднимется на Y_(под)

(6)

Дальность полёта

(7)

из формул (6) и (7) вытекает, что максимальная высота подъёма Н будет при угле бросания 90° и составит

(8)

Максимальная дальность полёта будет при угле бросания 45°, и составит x =

Как видим, максимальная возможная дальность полёта в два раза больше максимальной высоты подъёма при заданной начальной скорости n_о.

Для произвольного угла бросания:

(9)

Рассмотрим скорость м.т. в произвольной точке траектории.

По теореме Пифагора:

(10)

Угол a, который вектор скорости составляет с осью х, находим из соотношения:

(11)

Рассмотрим ускорения.

Проектируем вектор ускорения свободного падения , на направление вектора скорости и на направление перпендикулярное ему

a_n = g cosa; a_t = g sina, но a_n = n²/R,

где R – радиус кривизны траектории в момент времени t, т.е. в данной точке траектории:

. (12)

Траектория точки – парабола (см. задачу № 6). Для нас важнейшим моментом в приложениях (например, в оптике) является кривизна параболы в ее вершине. Для вершины: a = 0;

тогда . (13)

 

Задача №5

Шарик, посаженый на один конец невесомой жёсткой спицы длины L, вращается в горизонтальной плоскости вокруг его другого закреплённого конца. Начальная скорость шарика u₀, коэффициент трения m. Сколько оборотов n сделает шарик до остановки и сколько времени он будет вращаться, если вращение равнозамедленное? Каково полное ускорение шарика в момент, когда он сделает один оборот?

 

Решение.

 

Для определения числа оборотов воспользуемся законом сохранения энергии. Первоначальный запас кинетической энергии идёт на работу против сил трения F_тр. Используем определение работы силы через изменение энергии

где S- путь, пройденный шариком до остановки. Отсюда

У нас равнозамедленное движение (вращение), значит, угол поворота изменяется со временем по закону:

, а угловая скорость ; ε – угловое ускорение. По истечении времени вращение прекращается:

Рассмотрим полное ускорение после первого оборота.

Такое ускорение состоит из тангенциального и нормального ускорения. Нормальное ускорение направлено к центру вращения (к центру кривизны) и вычисляется по формулам:

(r = L)

Для того чтобы найти нормальное ускорение необходимо знать линейную скорость шарика после первого оборота . Найдём её из закона сохранения энергии:

; = - 4mgpL ³ 0.

Отсюда .

тангенциальное ускорение а_t = eL.

Поэтому искомое полное ускорение а находим из:

Задача

Определить длину пробега самолета после посадки, если посадочная скорость равна u_пос., а сила сопротивления пропорциональна силе тяжести. Принять, что коэффициент сопротивления m состоит из следующих составляющих:

m = m_{ср. аэр} + m_{ср. тор} + m_{ср. т.п} + m_{ср. рев},

где

m_{ср. аэр} - средний коэффициент аэродинамического сопротивления самолета при разбеге или пробеге, равный 0,05 – 0,08;

m_{ср. тор} - средний коэффициент трения качения колес шасси при использовании колесных тормозов. При торможении на бетонной полосе 0,20 – 0,25. При торможении на грунте 0,10 – 0, 15;

m_{ср. т.п} - средний коэффициент аэродинамического сопротивления тормозного парашюта, используемого при посадке. У существующих тормозных парашютов 0,10 – 0, 15;

m_{ср. рев} - средний коэффициент сопротивления движению самолета при использовании реверса тяги двигателей. Величина этого коэффициента зависит от значения отрицательной, реверсивной тяги двигателей .

 

Решение.

Исходим из закона сохранения энергии. Изменение кинетической энергии равно работе сил сопротивления F_c на длине пробега L:

; , отсюда .

 

Задача №6

Цель находится на расстоянии L от мяча на вышке высотой H. Под каким углом a_о необходимо запустить мяч с поверхности земли, чтобы поразить цель? Начальная скорость мяча .

 

Решение.

 

Пусть мяч находится на земле на расстоянии L от вышки высотой Н, где располагается цель. Задача - поразить цель. Найти траекторию, значит связать х и у. Для этого из выразим время и подставим в получим:

,

Получаем:

Отсюда найдём угол , под которым нужно бросить мяч со скоростью n.

,

Поскольку дискриминант может быть отрицательным, то это означает, что при заданных a₀ и v₀ не всякая цель может быть поражена, т.е. существует какая-то линия безопасности, за пределы которой мяч попасть не может. Эта линия связывает допустимые значения L₁ от Н₁ и находится из условия D = 0.

,

- уравнение параболы безопасности.

В пространстве совокупность таких линий образует параболоид безопасности.

Если Н ₁ = 0, то это выражение задает максимальную дальность полёта.

Уравнение (1) при положительном дискриминанте имеет два решения для углов. Это говорит о том, что любая точка, лежащая внутри параболы безопасности при заданной начальной скорости u₀ может быть достигнута при двух различных углах: при навесной и настильной траектории. Точки, лежащие на траектории безопасности, достигают только при одном значении a₀, т.к. в этом случае уравнение (1) имеет один корень.

 

Задача №7

Найти относительную скорость движения двух снарядов выпущенных со скоростями и под углами a₁ и a₂ к горизонту. Показать, что относительная скорость не меняется с течением времени.

 

Решение

 

По определению . Спроектируем это равенство на горизонтальную и вертикальную оси:

Оба эти выражения не зависят от времени, следовательно, и величина вектора n_отн не зависит от времени.

 

Задача №8

Показать, что максимальная дальность полёта снаряда, выпущенного из пушки с под углом к горизонту с обрыва, высотой Н меньше 45°. Вывести соответствующие формулы.

 

 

 

Решение

 

Решение задачи производим на основе решения предыдущих задач

 

;

Непосредственно на вопрос задачи дают ответ следующие соотношения:

 

,

 

Исключив из этих уравнений время t и положив y = H, x = L, получим

При условии, что подкоренное выражение положительно, имеем:

Для максимальной дальности полета в неравенстве следует взять знак “равно”. Тогда

, следовательно, угол бросания меньше 45⁰.

 

Задача №9

Динамометр находится на гладкой горизонтальной поверхности. К одному концу приложена сила F₁, к другому - сила F₂. Пружина прикреплена к динамометру массой М и к крюку массой m. Массой пружины пренебречь. Определить показания динамометра.

 

Решение

 

Динамометр показывает силу деформации пружины.

Пусть:

Т₁ – сила, с которой пружина действует на крюк.