Алфавит и схема алгоритма.

Нормальные алгоритмы являются вербальными, то есть предназначенными для применения к словам в различных алфавитах.

Определение всякого нормального алгоритма состоит из двух частей: определения алфавита алгоритма (к словам из символов которого алгоритм будет применяться) и определения его схемы. Схемой нормального алгоритма называется конечный упорядоченный набор так называемых формул подстановки, каждая из которых может быть простой или заключительной. Простыми формулами подстановки называются слова вида , где и — два произвольных слова в алфавите алгоритма (называемые, соответственно, левой и правой частями формулы подстановки). Аналогично, заключительными формулами подстановки называются слова вида , где и — два произвольных слова в алфавите алгоритма. При этом предполагается, что вспомогательные буквы и не принадлежат алфавиту алгоритма (в противном случае на исполняемую ими роль разделителя левой и правой частей следует избрать другие две буквы).

Примером схемы нормального алгоритма в пятибуквенном алфавите может служить схема

Процесс применения нормального алгоритма к произвольному слову в алфавите этого алгоритма представляет собой дискретную последовательность элементарных шагов, состоящих в следующем. Пусть — слово, полученное на предыдущем шаге работы алгоритма (или исходное слово , если текущий шаг является первым). Если среди формул подстановки нет такой, левая часть которой входила бы в , то работа алгоритма считается завершённой, и результатом этой работы считается слово . Иначе среди формул подстановки, левая часть которых входит в , выбирается самая первая. Если эта формула подстановки имеет вид , то из всех возможных представлений слова в виде выбирается такое, при котором — самое короткое, после чего работа алгоритма считается завершённой с результатом . Если же эта формула подстановки имеет вид , то из всех возможных представлений слова в виде выбирается такое, при котором — самое короткое, после чего слово считается результатом текущего шага, подлежащим дальнейшей переработке на следующем шаге.

Например, в ходе процесса применения алгоритма с указанной выше схемой к слову последовательно возникают слова , , , , , , , , , и , после чего алгоритм завершает работу с результатом . Другие примеры смотрите ниже.

Любой нормальный алгоритм эквивалентен некоторой машине Тьюринга, и наоборот — любая машина Тьюринга эквивалентна некоторому нормальному алгоритму. Вариант тезиса Чёрча — Тьюринга, сформулированный применительно к нормальным алгоритмам, принято называть «принципом нормализации».

Нормальные алгоритмы оказались удобным средством для построения многих разделов конструктивной математики. Кроме того, заложенные в определении нормального алгоритма идеи используются в ряде ориентированных на обработку символьной информации языков программирования — например, в языке Рефал.