Математическая модель плоского изгиба и растяжения прямого стержня при больших перемещениях

Полная математическая модель плоского изгиба и

Растяжения (сжатие) прямого стержня

Постановка задачи. Параметры

Выше мы построили математическую модель и проанализировали частный случай нагружения прямого стержня – растяжение – сжатие. Рассмотрим более общую постановку задачи определения внутренних сил и перемещений в прямом стержне при его плоском изгибе и растяжении-сжатии. Задача решается в главных центральных осях. При этом, в отличии от предыдущей задачи, внутренние силы M_x и Q_y не равны нулю. Соответственно, дополнительно имеют место перемещения v оси вдоль оси y, а также касательные напряжения в поперечном сечении. Вычисление последних через внутренние силы - сложная задача и будет рассмотрена приближенно в следующей лекции. Пока ограничимся построением математической модели связи внутренних сил и перемещений. Основные параметры вычисляются в исходных главных центральных осях.

Итак, параметры задачи – шесть неизвестных функции от координаты сечения:

- продольная сила N(z),

- поперечная сила Q(z),

- изгибающий момент M_x(z),

- продольное перемещение w(z),

- поперечное перемещение v(z),

- угол поворота сечения относительно оси x ,

появление которых является следствием действующих внешних нагрузок на определенным образом закрепленный стержень. В схеме приложения нагрузок две погонные нагрузки q_y и q_z. В частных случаях они вырождаются в сосредоточенные продольную силу P_z, поперечную P_y и момент L.

 

Геометрические соотношения

На рис. 5.1 изображено положение отрезка dz стержня с координатой z, отмеренной от левого конца стержня до нагружения, и положение того же отрезка длиной dz₁ после нагружения распределенной по длине нагрузкой q_y, q_z.

Введены обозначения: v, w – перемещения оси стержня по оси y и z соответственно; φ – угол поворота сечения относительно оси х.

Проектируя замкнутый контур АА₁В₁ВА на оси Y и Z, получаем два геометрических соотношения:

(5.1)

(5.2)

 

 

Уравнения равновесия

Проектируя силы, действующие на отрезок dz₁, на оси координат (рис. 5.1) и рассматривая момент сил относительно точки В₁, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка малости, получаем три уравнения равновесия в неподвижной системе координат:

 

Физические зависимости

При схематизации деформаций в главных центральных осях получено

 

.

Пренебрегаем изменением ГХС при малом повороте осей нормальная сила в повернутом сечении

.

 

С другой стороны, Q_z, Q_y есть сумма проекций N и Q на оси Z₁ , Y₁ (рис. 5.1):

 

,

.

 

Приравниваем полученные выражения и после преобразований с учетом (5.2)

 

.

 

Но из (5.2) dz₁ = (dz + dw)/cosφ, следовательно,

 

. (5.3)

 

Учитывая, что _, запишем формулу для распределения нормальных напряжений в сечении стержня в виде

 

.

 

 

Математическая модель плоского изгиба и растяжения прямого стержня при больших перемещениях

Подставляя выражение (5.3) в (5.1), (5.2), после элементарных преобразований получаем систему дифференциальных уравнений для определения параметров v, w, j, N, Q, M_x:

,

,

,

,

Система шестого порядка, не линейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решений в элементарных функциях.

Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня, на каждом известны по три условия:

- жесткое закрепление v = 0, w = 0, j = 0;

- шарнирно-неподвижное закрепление M_x = 0, v = 0, w = 0;

- шарнирно-подвижное закрепление M_x = 0, v = 0, N = 0;

- свободный конец M_x = 0, Q_y = 0, N = 0 и т.д.

Система дифференциальных уравнений записана в каноническом виде, не требующем предварительного преобразования для численного интегрирования.