Вычисление пределов непрерывных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Определение 1. Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа существует число (зависящее от ), такое, что для любого , удовлетворяющего условию , выполнено неравенство

Пишем: . Говорим: Предел при , стремящемся к " ", равен " " (или: стремится к " " при , стремящемся к " ").

Определение 2. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует число (зависящее от ), такое, что для всех , удовлетворяющих условию

выполнено неравенство

Пишем: (или , ).

Некоторые свойства пределов.

1) ;

2) ;

3) ( – константа);

4) , ;

5) ;

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена при ; 2) существует ; 3) .

Теорема. Все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения.

Далее мы рассмотрим ряд стандартных пределов (непрерывной, рациональной, иррациональных функций) и сформулируем правила их вычисления.

Вычисление пределов вида , где –

функция, непрерывная в точке а.

Правило: Воспользоваться формулой:

Примеры:

1) ;

2) ;

Вычисление пределов вида , где –

многочлены (неопределенность вида ).

Правило:

Замечание. Функция , где – многочлены, называется рациональной.

Примеры:

3) ;

4) ;

5) .

Вычисление пределов вида , где – многочлены, причем

(неопределенность вида ).

Правило. В этом случае надо сократить числитель и знаменатель на один или несколько раз.

Пример:

6) .

Замечания.

а) Если или , то предел находим непосредственно.

Примеры:

7) ;

8) ;

9) .

б) Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа :

Вычисление пределов некоторых иррациональных

Функций.

Правило 1. Ввести новую переменную " " так, чтобы можно было извлечь все корни, содержащиеся в функции (обычно функция содержит более одного корня; эти корни – разной степени).

Пример.

10) .

Мы сделали замену: ; при .

Правило 2. Перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

Пример.

11)

Умножили числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю. В результате преобразований корни из числителя "исчезли", но появились в знаменателе.

Замечание. Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа и :

В случае примера 11: .

Правило 3. Разделить числитель и знаменатель на " " в наивысшей степени, встречающейся в функции (возможно, после некоторых преобразований функции). Обычно в этих случаях .