Способы задания бинарных отношений.

Виды бинарных отношений на множестве A

 

1) Обратное отношение .

 

2) Дополнение .

 

3) Тождественные .

 

4) Универсальные .

 

Композиция отношений

 

Пусть P 1 - отношение из A в C, И P 2 - отношение из C в В,

тогда композицией отношений называется отношение

 

 

ПРИМЕР

 

, , .

 

Пусть ( отношение из А в В). Ядром отношения называется композиция отношения и обратного для него отношения , т.е..

 

 

Основные законы теории множеств

1. Коммутативность операций ∪ и ∩:

а) A ∪ B = B ∪ A б) A ∩ B = B ∩ A

2. Ассоциативность операций ∪ и ∩:

а) A ∪(B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C б) A ∩(B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C

3. Законы идемпотентности операций ∪ и ∩:

а) A ∪ A = A б) A ∩ A = A

4. Законы дистрибутивности:

а) A ∪(B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪С) б) A ∩(B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩С)

5. Законы поглощения:

а) A ∪(A ∩ B)= A б) A ∩(A ∪ B)= A

6. Законы де Моргана:

а) A ∪ B = A ∩ B б) A ∩ B = A ∪ B

7. Законы пустого и универсального множеств: ∅=Æ

A ∪∅= A A ∩∅= ∅ A ∩ A =∅

A ∪ U = U A ∩ U = A A ∪ A = U

U =∅ ∅ = U

8. Закон двойного отрицания:

A = A

Пример 4. [, ] Доказать, что относительно данного универсальног

множества U дополнение A любого множества A, если A ⊂ U, единственно.

4Для доказательства единственности дополнения A множества A ⊂ U

предположим, что существует два множества B и C, каждое из которы

удовлетворяет требованиям дополнения множества A, т.е. их пересечение с A

пусто, а объединение с A дает U:

а) B ∩ A =∅; б) C ∩ A =∅; в) B ∪ A = U; г) C ∪ A = U.

Очевидно, что B = B ∩ U. С учетом условия г) B = B ∩(C ∪ A). Так ка

B ∩(C ∪ A) = (B ∩ C)∪(B ∩ A), то с учетом условия а) B = (B ∩ C) ∪∅ = B ∩ C.

Аналогично исходя из условий в), б) получим:

C = C ∩ U = C ∩(B ∪ A) = (C ∩ B)∪(C ∩ A) = (C ∩ B)∪∅ = C ∩ B.

Итак, мы получили, что B = B ∩ C и C = C ∩ B. Так как C ∩ B = B ∩ C

(коммутативность операции пересечения), то B = C, что и требовалось доказать.3

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

2.1. Основные определения

Бинарные отношения используются для определения каких-либ

взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множества, т.е. есл

отношение P определено на множестве A × B (P ⊂ A × B), то это значит, что

множество P попадут только те пары множества A × B, между элементами которы

имеет место указанное отношение.

 

Способы задания бинарных отношений.

Так как отношения – это множества, то их можно задавать перечислением ил

характеристическим свойством. Кроме того, для бинарных отношений

определенных на конечных множествах, есть еще несколько способов их задания.

1. Бинарное отношение P ⊂ A × B, где A={ a 1, a 2, …, an }, B={ b 1, b 2, …, bm } може

быть задано (m, n)-матрицей (таблицей) (m строк, n столбцов), в которой элемен

ij p, стоящей на пересечении i -й строки и j -го столбца, равен 1, если межд

элементами ai и bj имеет место отношение P, или 0 в противном случае.

 

Например, отношение P ={(a, b) | a ∈ A, b ∈ B и a > b }, где A ={6,7,8}, B ={5,6,7,8,9

задано характеристическим свойством. Это же отношение

может быть определено перечислением P ={(6,5), (7,5),

(7,6), (8,5), (8,6), (8,7)} или матрицей отношения.

2. Если P ⊂ A × B, A и B – числовые множества,

то отношение P можно изобразить как

множество точек на плоскости, где каждая

точка представляет собой пару из множества P.

Например, P ={(2,1), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (1,3),

(2,4)}, где A ={1,2,3,4,5}, B ={1,2,3,4}

3. Если P ⊂ A × B, то отношение P можно

изобразить в виде диаграммы, состоящей из

узлов и стрелок, при этом узлам взаимно

однозначно соответствуют элементы множеств A

и B, а стрелка соединяет элемент a и с элементом

b только в том случае, если (a, b)∈ P. Например,

P ={(a,2), (a,3), (b,1), (c,1)}, A ={ a, b, c }, B ={1, 2,

3}

4. Если P ⊂ A 2, то бинарное отношение может

быть задано в виде графа, вершины которого –

элементы множества, а дуги направленные от a к

b означают, что (a, b)∈ P. Например, P ={(a, c), (c,

a), (b, a), (b, b),(a, d)}, где A ={ a, b, c, d }.

Способы задания 2–4 иногда называют графическими способам

отображения бинарных отношений.

Пусть P – некоторое бинарное отношение.

Областью определения P называется множество

ä P ={ x |(x, y)∈Ñ для некоторого y }.

Областью значений P называется множество

ñ P ={ y |(x, y)∈Ñ для некоторого x }.

Так как бинарное отношение по сущности есть множество, то для нег

определены все операции, которые определены для множеств: пересечение

объединение, разность, симметрическая разность и дополнение. При этом вс

законы алгебры множеств сохраняют свою силу. Кроме того, определяются други

операции над отношениями, в том числе:

Обратным к P отношением называется множество

P –1={(y, x) |(x, y)∈Ñ }.

Композицией бинарных отношений P 1⊂ A × B и P 2⊂ B × C называется множеств

P 3= 1 2 P _ P, где P 3⊂ A × C и P 3={(x, y) | x ∈ A, y ∈ C и найдется z ∈ B такой, что (x, z)∈ P 1

(z, y)∈ P 2}.

Образом множества X относительно P называется множество

P (X)={ y| (x, y)∈Ñ для некоторого x ∈ X }.

Множество P −1(Y)={ x| (x, y)∈Ñ для некоторого y ∈ Y } называется прообразом

множества Y относительно P.