Примеры решения 1 ГПЗ в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие (3 алгоритм)

Алгоритм решения.

1. Прямую заключают во вспомогательную плоскость.

2. Строят линию пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью.

3. Линия пересечения с заданным отрезком прямой пересекаются, так как лежат в одной вспомогательной плоскости. Полученные точки (точка) пересечения и будут искомые.

Независимо от того, какая поверхность пересекается с отрезком прямой, алгоритм решения всегда одинаков.

 

Пример1. Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а c октаэдром S. а Ç S = М, N (рис. 3.10).

Сначала надо построить проекции поверхности октаэдра S -проекции ребер, проходящих черезвершины ломаной направляющей A,B,C,D и точки E и F (рис. 3.11).

Видимость ребер можно определить визуально, без помощи конкурирующих точек. Вершина D, принадлежащая направляющей, расположена дальше других вершин этой же направляющей, значит, ребра FD и ED, проходящие через нее, будут относительно П₂ невидимыми. Невидимыми относительно этой же плоскости проекций будут звенья направляющей AD и DC, а значит, и грани АED, AFD, DEC, DFC.

Относительно П₁ видимыми будут те ребра и грани, которые расположены выше направляющей ABCD – DEA, CED, BEC, AEB.

 

Рис. 3.10 Рис. 3.11

 

Решение.

1. Прямую а заключим во фронтально – проецирующую плоскость

L (а₂ = L₂). LÇSÞm – ломаная линия. Так как L // П₂, следовательно, m₂ Ì L_2. (рис. 3.12).

2.Горизонтальную проекцию m построим по принадлежности ее октаэдру S, непроецирующей фигуре: точка 1 Ì AF, значит, точка 1₁ Ì А₁ F₁ ; точка

2 Ì АВ Þ 2₁ Ì А₁ В₁ и т.д.

3.Определим видимость линии m относительно П₁. Видимыми будут те участки ломаной линии m, которые лежат на видимых гранях ABE, BEC, CED.

Отрезок прямой а и линия m принадлежат одной плоскости L, следовательно, они пересекутся в точках M и N: m Ç a = M, N.

4. Определим видимость пересекающихся фигур относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой на обеих проекциях невидимый, так как находится внутри поверхности S. Горизонтальная проекция отрезка до точки N₁ видимая, потому что точка N лежит на видимой относительно П₁ грани ВЕС. М₁ – невидимая, значит, горизонтальная проекция а от М₁ до А₁D₁ также невидимая, так как закрыта видимой гранью AED.

 

 

Рис. 3.12

 

Видимость отрезка прямой относительно П₂ определяется аналогично.

 

Пример 2. Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а с поверхностью тора S. а Ç S = М, N (рис. 3.13).

Сначала строим проекции поверхности тора S и проекции отрезка прямой а (рис. 3.14).

 

Рис. 3.13 Рис. 3.14

 

Решение .

1. Отрезок прямой а заключаем в горизонтально – проецирующую плоскость L, L₁ = а₁

Вспомогательная плоскость L пересекает поверхность тора S. Линия пересечения этих фигур – плоская кривая m:

S Ç L = m (рис. 3.15).

Так как L || П_{1 ,} следовательно, m₁ Ì L₁.

2. Фронтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности S.

Построение любой кривой начинают с построения главных точек.

В данном примере главные точки: 1, 6 – оганичивающие кривую, 3 – высшая, 4 – определяющая границу видимости кривой m относительно П₂. Остальные точки – промежуточные.

Фронтальные проекции большинства точек строим по принадлежности параллелям – окружностям, проекции которых на П₂ вырождаются в отрезки прямых. Фронтальные проекции точек 1 и 6 строим по принадлежности линии обреза, точки 4 – по принадлежности очерковой образующей.

Высшая точка кривой при пересечении поверхности вращения с плоскостью лежит в осевом сечении поверхности, перпендикулярном секущей плоскости. Поэтому сначала выделяем точку 3₁ и при помощи окружности, касательной к L₁ строим точку 3₂.

3. Видимость линии m относительно П₂ определяем по принадлежности ее поверхности тора. Часть линии, проходящей через точки 1, 2, 3, и 4, будет видимой, так как лежит на видимой части поверхности.

Отрезок прямой а принадлежит L. Линия m также принадлежит L, следовательно, линия m пересекается с а в точках М и N, где М и N – искомые точки:

a Ì L; m Ì L Þ a Ç m = M, N

4. Определяем видимость пересекающихся фигур относительно П₁ и П₂ и относительно друг друга.

Между точками М и N отрезок прямой а на обеих проекциях будет невидимый. Относительно П₁ эти точки видимые, значит, участки отрезка прямой, расположенные за ними будут видны. Относительно П₂ точка М – видимая, значит, участок прямой до точки М₂ также видимый, точка N – невидимая, участок прямой от N₂ до очерковой образующей – невидимый, так как закрыт поверхностью тора.

Рис. 3.15

 

4.2.5. Примеры выполнения эпюра