По формуле для простой учетной ставки находим

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Дисциплина «Финансовая математика» состоит из двух основных разделов: основы финансовой математики (теория процентных ставок и финансовой ренты) и практического приложения финансовой математики. Поэтому изучение теоретических основ дисциплины необходимо начинать с математических основ. Для этого можно воспользоваться списком литературы из Рабочей программы или разделами Учебного пособия из ЭУМК. Учебное пособие ЭУМК содержит информацию по всем темам курса, указанным в Рабочей программе. Но для более глубокого изучения учебного материала необходимо использовать литературу, приведенную в Хрестоматии ЭУМК.

Вопросы, касающиеся практического приложения финансовой математики, требуют дополнительных знаний по таким дисциплинам, как «Банковское дело», «Страхование», «Рынок ценных бумаг». Основные необходимые сведения приведены в Хрестоматии ЭУМК.

После изучения теоретических основ дисциплины по Учебному пособию ЭУМК необходимо отработать практические навыки по решению задач, приведенных в Практикуме ЭУМК. Практикум содержит задачи по всем темам курса и примеры решения типовых задач.

Все необходимые формулы для расчетов дополнительно приведены в таблицах Справочника ЭУМК. Чтобы самостоятельно проверить знания, можно воспользоваться Тестами ЭУМК. Тесты приведены по каждой теме Рабочей программы, за выполнение тестов студент получает дифференцированную оценку.

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Учебно-методическое пособие (Практикум) по дисциплине «Финансовая математика» предназначено для бакалавров по направлению «Экономика». Предназначено для практических занятий и самостоятельной работы, содержит методические указания по решению задач, типовые примеры, формулы и таблицы.

Практикум включает в себя задачи по всем темам дисциплины «Финансовая математика», типовые примеры задач и их решения.

В практикум включены задачи по темам в той последовательности, как они представлены в Рабочей программе. Типовые примеры и анализ их решения, которые приведены в каждой теме, позволяют выявить типичные ошибки, а также полезны при самостоятельном изучении дисциплины.

ТЕМА 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Пример 1

Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 10% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.

Решение:

По формуле (1) наращения по простым процентам (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по простым процентам») находим наращенную сумму и сумму начисленных процентов:

S (T) = 50000 × (1 + 0,5 × 0,10) = 52500(руб.)

I (T) = 52500 – 50000 = 25000(руб.)

Сумму начисленных процентов можно также определить следующим образом:

I (T) = 50000 × (0,5 × 0,10) = 2500(руб.)

 

Пример 2

Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 под 18% годовых. Год не високосный. Определить сумму начисленных процентов.

В примере 2 речь идет о краткосрочной ссуде, срок которой измеряется в днях, поэтому возможны различные схемы начисления процентов.

Решение:

а) английская схема:

S (T) = 1000000 ( × 0,18) = 127232,88 (руб.)

б) германская схема:

S (T) = 1000000 () = 127500 (руб.)

в) французская схема:

S (T) = 1000000 ( × 0,18) = 129000 (руб.)

 

Внимание! При определении числа дней ссуды по английской и французской схеме начисления процентов можно использовать Таблицу определения порядковых дней в году, приведенную в Приложении.

Пример 3

Кредит в размере 20000000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение:

А (3,5) = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975

S (3,5) = 20000000 × 1,975 = 39500000 (руб.)

 

 

Пример 4

Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17 ноября. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября текущего года по учетной ставке 20%. Определить сумму, уплаченную владельцу векселя и дисконт банка.

Решение:

Используем формулу (4) дисконтирования по учетной ставке (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по простым процентам»).

S (o) = 1000000 (1- 0,2 × ) = 96944,5 (руб.)

D (T) = 1000000 – 96944,4 = 30555,5 (руб.)

 

В примере 4 дисконт банка можно рассчитывать следующим образом:

D (T) = 1000000 × (0,2 × ) = 30555,5 (руб.)

Пример 5

Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дней?

Решение:

Используем формулу (3) математического дисконтирования (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по простым процентам»).

S (o) = = 287328,59 (руб.)

Дисконт равен: D (T) = 310000 – 287328,59 = 22671,41 (руб.)

 

Внимание! При решении задач дисконтирования типичная ошибка, которую допускают студенты, состоит в том, что неправильно используются формулы (3) и (4). Если в задаче используется процентная ставка, то речь идет о формуле математического дисконтирования (3). Формула (4) используется при дисконтировании по учетной ставке.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение процентной ставки. Как с помощью процентной ставки определить сумму начисленных процентов?

2. В чем сущность начисления простых процентов? Выведите формулу наращения по простым процентам.

3. В чем сущность дисконтирования по простым процентам? Назовите различие между математическим дисконтированием и банковским учетом.

4.Дайте определение обыкновенным и точным процентам в краткосрочных операциях.

5. Поясните различие между английской, германской и французской схемами начисления простых процентов.

 

ЗАДАЧИ

 

1. Банк принимает вклады до востребования по ставке 8% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их начисления для вклада 250 тыс. руб., размещенного на срок с 5 апреля по 25 октября. Год не високосный.

2. Вкладчик, решивший положить на депозит 250 тыс. руб., хочет накопить через год не менее 300 тыс. руб. Определить ставку процентов, на основании которой он может выбрать подходящий для этой цели банк.

3. Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления через 9 месяцев суммы 500 тыс. руб. Банк начисляет проценты по ставке 10% годовых. Определите требуемую сумму вклада.

 

4. Кредит в размере 10 тыс. руб. был взят 12 апреля со сроком погашения 10 июня по ставке 30% годовых. Определить сумму процентов за кредит при германской и английской практике их начисления. Год високосный.

 

5. Вклад 500 тыс. руб. был размещен в банке 11 июня по ставке 8% годовых. При востребовании вклада 20 сентября вкладчику были начислены проценты в размере 11 тыс. руб. определите, какую практику начисления процентов использовал банк. Год високосный.

 

6. Банк принимает депозиты на три месяца по ставке 8 % годовых, на 6 месяцев по ставке 10% годовых и на год по ставке 12% годовых. Определите сумму, которую получит владелец депозита в размере 150 тыс. руб. во всех трех случаях.

 

7. Банк принимает вклады до востребования по ставке 10% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их начисления для вклада 500 тыс. руб., размещенного на срок с 5 января по 25 октября. Год високосный.

8. Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб., чтобы накопить 700 тыс.руб. Ставка процентов банка составляет 12 % годовых. Определите срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму (число дней в году равно 360).

 

9. Ставка процентов банка по вкладам до востребования, составлявшая в начале года 8% годовых, через полгода была уменьшена до 6%, а еще через 3 месяца – до 2% годовых. Определите сумму процентов, которая была начислена на вклад 300 тыс.руб. за год.

 

10. Вексель на сумму 10 тыс.руб. со сроком погашения 15 ноября предъявлен в банк для оплаты 15 августа. Год високосный. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых. Определите сумму, выплаченную владельцу векселя, и сумму дисконта банка при германской практике расчетов.

 

11. При учете векселя на сумму 1 тыс.руб. до срока оплаты которого осталось 50 дней, банк выплатил его предъявителю 950 руб. Определите учетную ставку, которую использовал банк, при расчетном количестве дней в году, равном 360.

 

12. Вексель на сумму 5 тыс.руб. выдан на 100 дней с начислением по нему процентов по ставке 20% годовых при расчетном количестве дней в году, равном 365 дней. Банк учел вексель за 20 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых при расчетном количестве дней в году, равном 360. Определите сумму, полученную предъявителем векселя, и сумму дохода банка.

 

13. Вексель на сумму 10 тыс.руб. со сроком погашения 20 декабря предъявлен в банк для оплаты 25 сентября текущего года. Год не високосный. Банк учел вексель по учетной ставке 25% годовых. Определите сумму, выплаченную владельцу векселя и сумму дисконта банка при германской практике расчетов.

 

14. Вексель на сумму 10 тыс.руб. предъявлен в банк для оплаты за 100 дней до срока его погашения. Банк для определения своего дохода использовал ставку простых процентов в размере 20% годовых. Определить сумму, выплаченную предъявителю векселя, и сумму дисконта банка для расчетного количества дней в году, равного 365.

 

15. Банк принимает вклады до востребования по ставке 15% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их начисления для вклада 150 тыс.руб., размещенного на срок с 5 января по 25 октября текущего года. Год високосный.

16. На сколько лет должен быть вложен капитал К при 6% годовых, чтобы процентный доход был равен тройной сумме капитала.

 

17. При учете векселя на сумму 10 тыс. руб., до срока оплаты которого осталось 40 дней, банк выплатил его предъявителю 9,6 тыс.руб. Определите учетную ставку, которую использовал банк, при расчетном количестве дней в году, равном 360.

 

18. На сколько лет должен быть вложен капитал К при 6% годовых, чтобы наращенный капитал был равен тройной сумме капитала.

 

19. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов:

за I квартал – 230% годовых,

за 2-ой и третий – 240% годовых,

за четвертый – 200% годовых.

Определить множитель наращения за год.

 

20. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов:

за I квартал – 10% ежемесячно,

за 2-ой и третий – 40% ежемесячно,

за четвертый – 15% ежемесячно.

Определить множитель наращения за год.

 

21. Инвестиционная компания размещает денежные средства предприятий путем оформления процентных векселей. В случае расторжения договора проценты выплачиваются из расчета 5% годовых. Исчислите доход по векселю (в рублях) номиналом 100 тыс.руб., выданному на 6 месяцев под 60% годовых. Каков будет доход в случае погашения векселей за один месяц до срока, за один день до срока?

 

22. По депозитным сертификатам номинальной стоимостью 20 тыс. руб. и сроком обращения 6 месяцев объявленная доходность была 10% годовых. После первой недели ставка снизилась до 9,5%. Определить выкупную стоимость сертификата к окончанию срока его обращения.

 

23. Определите текущую стоимость депозитного сертификата (номиналом 1000 руб.) со сроком обращения 360 дней и ставкой доходности 15% годовых на сегодняшний день (за 180 дней до погашения). Рыночная ставка по 3-месячным обязательствам сложилась на уровне 19,5% годовых.

 

24. Дисконтный вексель номиналом 15 тыс. руб. учтите за 30 дней до погашения по ставке 7% годовых:

а) 7% - процентная ставка;

б) 7% - учетная ставка.

Поясните разницу в полученном решении.

 

25. Дата погашения дисконтного векселя – 5 июля текущего года. Какова его выкупная цена на 23 февраля текущего года. Номинал векселя 1 млн. руб., учетная ставка – 8% годовых. При решении необходимо использовать германскую практику.

26. В 2005 г. в Ваш день рождения в банке был открыт срочный вклад на 90 дней на сумму 2000000 руб. Расчетная ставка составляла 8% годовых. Когда можно будет получить этот вклад вместе с обусловленными договором процентами? Какова будет величина наращенной суммы?

27. Определите текущую стоимость депозитного сертификата с начислением процентов по нему 10% годовых (номиналом 1000 руб.), выданному на 720 дней на сегодняшний момент (за 90 дней до погашения). Рыночная ставка сложилась на уровне 9,5 % годовых (К=360).

 

28. Счет до востребования открыт в банке на сумму 5000 руб. 11 декабря 2004 г. Расчетная ставка – 2% годовых. Закрыт счет 15 июня 2005 г. Со дня открытия и до дня закрытия счета никаких приходных и расходных операций клиент банка не совершал. По договору банковского вклада начисление процентов и их причисление к вкладу (капитализация) осуществлялись по истечении каждого календарного квартала. Какую сумму получил клиент банка при закрытии счета?

29. По процентному векселю номиналом 10000 руб., выданному на 7 месяцев, объявлена доходность 65% годовых. При досрочном погашении векселя ставка понижена до 30%. Определить доход по векселю при досрочном погашении за 30 дней до срока (К=360).

30. В 2004 г. в Ваш день рождения в банке был открыт счет до востребования на сумму 2000 рублей. Ставка – 2% годовых, по условиям договора вклада начисление и капитализация процентов осуществляется по истечении каждого календарного квартала. Сколько денег получит клиент банка при закрытии счета в этот же день, если расчетная ставка окажется неизменной?

 

 

ТЕМА 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Пример 6

Первоначальная сумма долга равна 50000000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, если используется ставка сложных процентов 25% годовых.

Решение:

Используя формулу (1) (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам») имеем:

S (T) = 50000000 (1 + 0,25)^2,5 = 87346390 (руб.)

Смешанный метод расчетов дает другой результат:

S (T) = 50000000 (1 + 0,25)² (1 + 0,25 × 0,5) = 87890625 (руб.).

 

Различие в полученных результатах объясняется использованием схемы начисления по простым процентам за период, меньший, чем год. Напомним, что начисление простых процентов за срок, меньший года, дает большую сумму начисленных процентов, чем начисление сложных процентов.

 

Пример 7

10 млн. руб. инвестированы на два года по ставке 120% годовых. Требуется найти наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.

В данном примере используется номинальная ставка сложных процентов, поэтому воспользуемся формулой (2) (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).

Решение:

а) m = 1 S (T) = 10000000 (1 + 1,2)² = 48400000 (руб.)

б) m = 2 S (T) = 10000000 (1 + )⁴ = 65536000 (руб.)

в) m = 4 S (T) = 10000000 (1 + )⁸ = 81573072 (руб.)

г) m = 12 S (T) = 10000000 (1 + )²⁴ = 98497307 (руб.)

Пример 7 иллюстрирует тот факт, что начисление процентов по номинальной ставке идет с ускорением, т.е. чем чаще начисляются проценты, тем больше наращенная сумма.

 

Пример 8

Банк начисляет проценты на вклады по номинальной ставке сложных процентов 12% годовых. Определить доходность вкладов по эффективной ставке процентов при начислении: а) по полугодиям; б) ежеквартально;

в) ежемесячно.

В данном примере необходимо рассчитать годовую эффективную процентную ставку. Можно воспользоваться готовыми формулами, или вывести формулу годовой эффективной процентной ставки из равенства множителей наращения (Формулы (1), (2), Приложение«Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).

Решение:

а) i_эф. = (1 + )² – 1 = 0,1236 i_эф. = 12,4%

б) i_эф. = (1 + )⁴ – 1 = 0,1255 i_эф. = 12,6%

в) i_эф. = (1 + )¹² – 1 = 0,1268 i_эф. = 12,7%

 

Пример 9

Определить наращенную на 10000 руб. сумму за 6 лет при использовании:

а) ставки простых процентов 10% годовых;

б) ставки сложных процентов 10% годовых;

в) простой учетной ставки 10% годовых;

г) сложной учетной ставки 10% годовых.

В примере 9 сравнивается начисление декурсивных процентов (а, б) и антисипативных процентов (в, г). Соответствующие формулы приведены в Приложении для начисления простых и сложных процентов.

Решение:

а) S (T) = 10000 (1 + 0,1 × 6) = 16000 (руб.); I (T) = 6000 (руб.)

б) S (T) = 10000 (1 + 0,1)⁶ = 17716 (руб.); I (T) = 7716 (руб.)

в) S (T) = = 25000 (руб.); I (T) = 15000 (руб.)

г) S (T) = = 18816 (руб.); I (T) = 8816 (руб.)

Как видно из примера наибольший рост капитала будет при начислении процентов по простой учетной ставке (на практике она не применяется на длительных, больше года, периодах начисления).

Пример 10

Банк использует при выдаче кредитов ставку 12% годовых. Определите значение учетной ставки, обеспечивающей равную доходность при учете векселя, до срока погашения которого осталось 50 дней, если расчетное количество дней в году при начислении процентов по кредитам равно 365, а при учете векселей – 360.

 

Для решения задач по данной теме необходимо использовать готовые формулы эквивалентности. Также можно вывести формулы самостоятельно из равенства множителей наращения (см. Приложение «Формулы наращения и дисконтирования по простым процентам», «Формулы наращения и дисконтирования по сложным процентам»).

 

Решение:

По формуле для простой учетной ставки находим

d = (11,64%).

Пример 11

Ссуда выдана под 20 сложных годовых процентов. Каков должен быть уровень простой ставки (К = 365) при сроке 6 месяцев.

Решение: