Понятие производной, ее свойства

Пусть задана на интервале . Возьмем некоторую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Если существует конечный предел , то его называют производной функции в точке . Если такой предел существует в каждой точке , то он называется производной от функции на . Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием.

Для обозначения производной в точке используются символы:

.

Правила дифференцирования.

1. Если функции и дифференцируемы в точке , то в точке дифференцируемы функции , , , , и справедливы формулы:

§ ;

§ ;

§ ;

§ .

2. Производная сложной функции: если дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула:

,

т.е. производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции .

Замечание. Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для вычисления производной функции , если , , дифференцируемы, справедлива формула:

.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

 

Функция	Производная
,
,

 

Рассмотрим решение примеров.

Пример № 1.

.

Решение.

Пользуясь таблицей производных и свойствами производных, имеем:

.

Пример № 2.

Найти производную .

Решение.

.

Пример № 3.

Найти производную .

Решение.

.

Пример № 4.

Найти производную .

Решение. Так как функция является сложной вида , где , , то имеем:

.

Пример № 5.

Найти производную .

Решение.

.

 

Производные высших порядков

Пусть функция задана на и в каждой точке существует . Тогда мы имеем новую функцию , заданную на , называемую производной функции . Значит, имеет смысл говорить о производной функции , то есть о или о второй производной от функции , которая обозначается , , . И, обобщая данную ситуацию, можно сказать, что производной -го порядка от функции называется производная от -ой производной функции :

,

 

Дифференцирование некоторых функций

Дифференцирование неявных функций.

 

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно . Из этого уравнения легко находится , т.е. производная неявной функции.

Пример № 1.

Найти производную из уравнения .

Решение.

Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Следовательно, . Продифференцировав по обе части данного уравнения, получим: , т.е. .

Пример № 2.

Найти производную из уравнения .

Решение.

Дифференцируя по обе части уравнения, получим:

,

т.е. .

Перенесём в одну сторону равенства все слагаемые, содержащие , тогда:

,

,

.

Дифференцирование степенно-показательной функции: .

Чтобы вычислить производную данной функции применятся специальный прием: предварительно прологарифмируем данное равенство по основанию , а затем продифференцируем по аргументу , учитывая, что функция сложная.

Пример № 3.

;

;

;

;

;

;

наконец: .

Замечание. Способ дифференцирования функции предварительным логарифмированием также эффективен при нахождении производной функции, являющейся произведением или частным нескольких функций.

Пример № 4.

Найти производную .

Решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию :

; ; ;

; ;

;

.