Двоичная система счисления. Последующее изложение материала требует некоторых сведений о двоичной системе счисления

 

Последующее изложение материала требует некоторых сведений о двоичной системе счисления. Напомним, что основанием десятичной системы счисления (десятичного кода) является число 10, используемых цифр — десять: 0,1,2,... 9, а цены («веса») единиц в соседних разрядах отличаются в 10 раз. В этой системе любое число представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 10. Так, например, число 38₁₀ (индекс 10 указывает на запись числа в десятичной системе счисления) выражается суммой: 38₁₀ = 3•10¹+8•10°, где основание системы 10 возводится в нулевую степень (в первом, младшем разряде), в первую степень (во втором разряде), а коэффициентами ряда являются цифры 3 и 8, последовательное написание которых представляет рассматриваемое число.

В двоичной системе счисления основанием системы является число 2, используемых цифр две: 0 и 1, а «веса» единиц в соседних разрядах отличаются вдвое. Число в двоичной системе исчисления представляется последовательностью коэффициентов в разложении этого числа по степеням числа 2. Так, число 38₁₀ выражается следующим рядом по степеням 2:

38₁₀= 1•2⁵ +0•2⁴+0•2³+1•2²+1•2¹+0•2°=10110₂,

где индекс 2 указывает, что данная совокупность цифр выражает число в двоичной системе счисления (является двоичным кодом числа). Как следует из последнего примера, двоичный код формируется так же, как десятичный; его разряды — коэффициенты в разложении числа по степеням основания (в данном случае — по степеням 2).

Рассмотренный двоичный код (у которого «веса» единиц в соседних разрядах отличаются вдвое) называется натуральным двоичным кодом. В таком коде было записано приведенное ранее число.

Преимуществом двоичной системы счисления является то, что она использует только две цифры. Поэтому в аппаратуре для выполнения операций над числами в двоичной системе счисления (над двоичными числами) достаточно пользоваться двумя значениями, к примеру, напряжения. Наряду с этим, в двоичной системе счисления число имеет большее количество разрядов, чем в десятичной, что является ее недостатком.

Нередко в цифровых устройствах используют смешенное — двоично-десятичное представление числа. Аналогично представлению в десятичной системе счисления оно составляется десятичными разрядами единиц, десятков, сотен и т. д. Однако цифра в таком десятичном разряде представлена в двоичной системе счисления (двоичным кодом). Так как наибольшей цифрой в десятичном разряде является 9, то он должен содержать четыре двоичных разряда (тетраду). Двоично-десятичное представление числа используется, в частности, в системах индикации, когда число индицируется в привычной десятичной системе счисления, а его каждый разряд может формироваться элементами, работающими с двоичными кодами.

 

Цифровые сигналы.

 

Цифровой сигнал формируется из аналогового сигнала аналого-цифровым преобразователем (АЦП), который нередко называют преобразователем аналог - код. Такое преобразование сводится к тому, что из аналогового сигнала периодически производятся выборки мгновенных значений (сигнал дискретизируется; теперь он существует в определенные, дискретные моменты времени). Затем осуществляется квантование сигнала: «высота» каждой выборки округляется до ближайшего разрешенного уровня (уровни квантования). После этого сигнал представляется совокупностью выборок, существующих в дискретные моменты времени, каждая из которых может иметь только конечное (не бесконечное) число значений. Поэтому каждое из этих значений может быть оцифровано (что невозможно при бесконечном числе значений), в частности, двоичным числом (двоичным кодом). Разряд кода выборки представляют обычно уровнем потенциала: единицу в разряде — высоким уровнем (U¹), нуль — низким (U⁰), а разряды кода выборки в целом представляются последовательностью U¹ и U⁰. Совокупность таких последовательностей, каждая из которых выражает квантованный уровень соответствующей выборки, является цифровым сигналом.

На выходах АЦП последовательность U¹ и U⁰, соответствующая одной выборке, сменяется последовательностью, соответствующей следующей выборке и т. д. (Обычно говорят: код одной выборки сменяется кодом другой.)

Высокий уровень U¹ представляющий единицу в разряде кода, называют «логическая единица», а низкий уровень U⁰, представляющий нуль в разряде кода, — «логический нуль». Нередко эти уровни называют логическими потенциалами. Кроме использованного соответствия (в цифровом сигнале уровнем большего значения представляется 1 в разряде кода, а уровнем с меньшим значением — нуль) применяется и обратное (уровень сигнала с большим значением представляет нуль, а уровень с меньшим значением — 1 в разряде кода). Цифровой сигнал можно представить в параллельной и в последовательной формах. В первом случае уровни, выражающие цифры (0 или 1) в разрядах кода квантованной выборки, появляются одновременно, параллельно. При этом количество линий передачи, а также однотипных элементов устройства, обрабатывающих такой сигнал, соответствует его разрядности. Однако во многих случаях это компенсируется скоростью обработки. При представлении цифрового сигнала в последовательной форме (последовательным кодом) уровни, выражающие цифры в разрядах кода выборки, сменяют друг друга, т. е. появляются последовательно; каждый остается неизменным в течение так называемого тактового интервала; на его границе уровень потенциала изменяется, если следующая цифра двоичного кода отличается от предыдущей.

 

Логические сигналы.

 

Логические сигналы занимают особое место в цифровых устройствах.

Цифровые сигналы отражают числовые значения физических величин — напряжение, температуру, механическое усилие и др. При измерении неэлектрических величин последние преобразуются в электрические, которые затем подаются на вход АЦП для получения цифровых сигналов.

Наряду с ними в цифровых устройствах действуют сигналы, появление которых связано с наступлением или ненаступлением какого-либо события. Такие сигналы тоже являются двоичными, т. е. представляются двумя уровнями потенциала — высоким (U¹) и низким (U⁰), либо наличием и отсутствием импульса. Один из этих уровней кодируется (представляется) логической единицей, а другой — логическим нулем. Поэтому их тоже относят к цифровым сигналам, хотя они имеют совершенно другой смысл. Чтобы ощутить разницу между этими видами сигналов, обратимся к сравнивающему устройству — компаратору. Когда два двоичных числа на его входах окажутся равными, на одном из выходов появится потенциал определенного уровня, свидетельствующий о наступлении события — равенстве кодов. Точно такой же сигнал появится на этом выходе при равенстве чисел совсем другой величины. Сигнал такого же уровня будет на другом выходе компаратора, если одно число меньше другого, причем величина их разности никакого влияния на величину этого сигнала не оказывает.

Описанные сигналы на выходах компаратора имеют одинаковые значения. Разработчики аппаратуры предусматривают их появление как ответ на наступление того или иного события вне зависимости от его содержания (числа оказались одинаковыми, одно число стало больше другого, некоторое преобразование закончилось и т. д.), важны лишь истинность события или его ложность.

Наличие или отсутствие описанных сигналов и порождающие их условия связаны выражениями типа «если..., то...» и другими логическими связями. Поэтому такие сигналы называют логическими. Это название связано с тем, что аналогичные условия между причиной и следствием являются предметом обсуждения и изучения в логике.

Формальная логика — наука о законах и формах человеческого мышления — оперирует с высказываниями вне зависимости от их содержания, учитывая только их истинность или ложность. Истинные высказывания: «Электрический ток существует только в замкнутой цепи», «Архангельск расположен в Северном полушарии»; ложные: «Кит — теплолюбивое растение», «Ангара -+-приток Волги».

Высказывания и события бывают простые и сложные. Простое содержит только один факт, не зависящий от других фактов, т. е. само по себе может быть истинным или ложным. В приведенных выше примерах высказывания — простые. Сложное высказывание содержит несколько простых высказываний, например: «Я пойду в кино, если не будет дождя и со мной пойдет приятель». Появление сигнала на любом входе многовходового устройства соответствует наступлению простого события, а появление ожидаемого сигнала на выходе устройства — результат действия всех входных сигналов — соответствует наступлению сложного события.

Введение в формальную логику ограниченного числа логических связок (они будут описаны далее), допускающих лишь строго определенное толкование, позволило однозначно представлять сложное высказывание (сложное событие) совокупностью простых, а введение символов, обозначающих простые высказывания, — решать логические задачи математическими средствами. Их совокупность составляет содержание алгебры логики, или булевой алгебры, названной так в честь ее создателя — английского математика Дж. Буля. В соответствии с ней истинному высказыванию (наступлению события) обычно приписывается (ставится в соответствие) символ 1 (лог. 1), а ложному (ненаступлению события) — символ 0 (лог. 0). Такое соответствие относят к классу положительной логики. Обратное соответствие относят к классу отрицательной логики.

Необходимо отметить, что применительно к логическому сигналу символы 0 и 1 никакого отношения к числовому значению сигнала не имеют. Они лишь описывают качественное состояние события, и поэтому к ним неприменимы арифметические операции. В электрических цепях эти символы обычно представляются так же, как аналогичные в цифровом сигнале: лог. 1 — высоким, а лог. 0 — низким уровнем потенциала.

Рассмотрим сложное событие: «Автомат сработает, когда будут нажаты кнопки К1, К2 и К4 или нажата кнопка К3 и не нажаты ранее упомянутые кнопки. Другие сочетания нажатых кнопок срабатывания автомата не вызывают». Здесь простые события (нажатие кнопок) внедрены в сложное событие (срабатывание автомата) с помощью союзов-связок И, ИЛИ, НЕ; состояния кнопок играют роль аргументов (переменных), над ними эти союзы осуществляют такие функциональные преобразования, которые формируют функцию — условие срабатывания автомата.

Далее простое событие будем обозначать символом х, а сложное событие, являющееся функцией простых, — символом у.

Из изложенного ранее следует, что булева алгебра оперирует с переменными, принимающими только два значения: 0 и 1, т. е. с двоичными переменными. Функция двоичных переменных, принимает те же два значения и называется логической функцией (переключательной функцией, функцией алгебры логики, булевой функцией). Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и таблицей, называемой переключательной таблицей или таблицей истинности.