Корреляционные закономерности между курсами различных валют.

 

В качестве продолжения проведённой работы, была поставлена вторая цель: найти и проанализировать зависимость между курсами валют. Зависимость одного курса от другого в банке одной страны может показаться очевидной, ведь имеются два отношения «доллар/рубль» и «евро/рубль». Но, в таком случае, выявление отклонений в зависимости «доллар/евро» точно укажет то, что на разницу в курсах влияет не только третья валюта, но и множество посторонних факторов. Многие из них учесть невозможно, но исследование в этом направлении может помочь выяснить, насколько сильно и каким образом остальные факторы влияют на отклонения в данной зависимости.

Линия регрессии, вычисленная во время исследования соотношения курсов, будет использоваться для «прогнозирования», то есть на основе этой линии и реальных данных одного курса на период, не входящий в исследуемый, будет выведен курс второй валюты, после чего сравнён с реальными данными. Это позволит определить ошибку прогнозирования и корридор курса валют в соответствии с построенной линией регрессии. Таким образом можно будет определить, в каких временных рамках влияние посторонних факторов низко, а зависимость курсов можно считать линейной.

 

Итак, для начала возьмём исходные данные: статистику курсов валют с базы данных центробанка (www.cbr.ru) за 5 первых месяцев 2009 г. Создадим из этих данных две таблицы:

Дата	День недели	Курс Евро
01.01.2009	Четверг	41,4275
02.01.2009	Пятница	41,4275
03.01.2009	Суббота	41,4275
04.01.2009	Воскресенье	41,4275
05.01.2009	Понедельник	41,4275
06.01.2009	Вторник	41,4275
07.01.2009	Среда	41,4275
08.01.2009	Четверг	41,4275
09.01.2009	Пятница	41,4275
10.01.2009	Суббота	41,4275
...	...	...
27.05.2009	Среда	43,4712
28.05.2009	Четверг	43,4963
29.05.2009	Пятница	43,3269
30.05.2009	Суббота	43,378
31.05.2009	Воскресенье	43,378

Дата	День недели	Курс Доллара
01.01.2009	Четверг	29,3916
02.01.2009	Пятница	29,3916
03.01.2009	Суббота	29,3916
04.01.2009	Воскресенье	29,3916
05.01.2009	Понедельник	29,3916
06.01.2009	Вторник	29,3916
07.01.2009	Среда	29,3916
08.01.2009	Четверг	29,3916
09.01.2009	Пятница	29,3916
10.01.2009	Суббота	29,3916
...	...	...
27.05.2009	Среда	31,1465
28.05.2009	Четверг	31,1846
29.05.2009	Пятница	31,3259
30.05.2009	Суббота	30,9843
31.05.2009	Воскресенье	30,9843

Табл. 14, 15

Можно проводить линию регрессии на основании полного набор данных, однако изначально мы не работаем для получения точных значений, поэтому требуется разбить курсы доллара и евро на соответствующие интервалы. Возьмём число интервалов и поделим соответствующие курсы на интервалы в соответствии с таблицами 2 и 3:

 

Для евро: Для доллара:

5 месяцев
	41,1311	41,13	41,84	41,49
	46,8392	41,84	42,56	42,20
		42,56	43,27	42,91
	0,7135125	43,27	43,99	43,63
	44,2204404	43,99	44,70	44,34
		44,70	45,41	45,06
		45,41	46,13	45,77
		46,13	46,84	46,48

5 месяцев
	29,3916	29,39	30,27	29,83
	36,4267	30,27	31,15	30,71
		31,15	32,03	31,59
	0,879388	32,03	32,91	32,47
	33,47334	32,91	33,79	33,35
		33,79	34,67	34,23
		34,67	35,55	35,11
		35,55	36,43	35,99

Табл 16, 17

Используя данные таблиц 16 и 17 требуется построить матрицу корреляции по интервалам, после чего составлять линию регрессии. Матрица корреляции представляет из себя таблицу на полей, в каждой из клеток которой записано количество дней, курсы которых попадают в соответствующий ей интервал по доллару и по евро. Однако, в рамках Excel это можно осуществить при помощи умножения двух матриц.

Дата и курс	доллара	01.01.2009	02.01.2009	03.01.2009	04.01.2009	...	31.05.2009
		29,3916	29,3916	29,3916	29,3916	...	30,9843
35,55	36,43					...
34,67	35,55					...
33,79	34,67					...
32,91	33,79					...
32,03	32,91					...
31,15	32,03					...
30,27	31,15					...
29,39	30,27					...

Табл. 18

Дата и курс		41,1311	41,8446	42,5581	43,2716	43,9852	44,6987	45,4122	46,1257
евро		41,8446	42,5581	43,2716	43,9852	44,6987	45,4122	46,1257	46,8392
01.01.2009	41,4275
02.01.2009	41,4275
03.01.2009	41,4275
04.01.2009	41,4275
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
31.05.2009	43,378

Табл. 19

Создадим две таблицы, 8x151 и 151x8, которые будут служить нам вспомогательными матрицами. В каждой из таблиц число 151 – это число дней в исследуемом временном промежутке (5 месяцев), а 8 – число интервалов. Над каждым из 151 столбцов (151 строк соответственно во второй таблице) проставим даты и соответствующие курсы доллара (евро), а перед каждой из 8 строк (столбцов) проставим значения и для данного интервала так, как указано в таблицах 18 и 19.

Теперь, в каждой ячейке таблицы требуется определить, попадает ли соответствующий ей курс в интервал, указанный для этой ячейки. Результат выполнения условий и получаем, используя логическую функцию «ЕСЛИ» и обхединение условий «И». На выходе имеем требуемую таблицу, в которой каждому дню должна соответствовать лишь одна единица и 7 нулей (очевидно, что каждый курс может попадать лишь в один интервал).

Далее при помощи умножения матриц (именно в порядке Доллар на Евро, а не наоборот, так как в результате должна выйти матрица 8х8) мы получаем матрицу корреляции:

	Евро:	41,1311	41,8446	42,5581	43,2716	43,9852	44,6987	45,4122	46,1257
Доллар:		41,8446	42,5581	43,2716	43,9852	44,6987	45,4122	46,1257	46,8392
35,5473	36,4267
34,6679	35,5473
33,7885	34,6679
32,9092	33,7885
32,0298	32,9092
31,1504	32,0298
30,2710	31,1504
29,3916	30,2710

Табл. 20

Данная корреляционная матрица может быть переведена в графический вид. Если на коориднатной плоскости, по оси которой отмечается курс евро, а по оси – курс доллара, отметить пары курсов за каждые сутки, после чего поделить плоскость по осям на данные интервалы, то в каждую из образовавшихся ячеек войдёт указанное в таблице количество точек. Для провеврки: суммарное количество точек должно соответствовать количеству дней в исследуемом интервале. Если нет, то имеет смысл пересмотреть правильность выполнения предыдущих пунктов.

По данным таблицы 20 можно построить линию регрессии. Для этого для каждого интервала по евро и по доллару определяем среднее арифметическое (середину интервала) , , а для доллара определяем математическое ожидание в соответствующем интервале евро, , где - это ячейка таблицы или количество дней, попавшее в соответствующие интервалы по евро и доллару. Получаем таблицу значений:

	41,4879	42,2014	42,9149	43,6284	44,3419	45,0554	45,7689	46,4824
	30,0825473	32,344	32,294	32,323	33,653	34,846	34,952	35,987

Табл. 21

Линия регрессии определяется двумя коэффициентами и в уравнении . В данном случае выступает в роли , а в роли . Эти коэффициенты можно определить при помощи графиков Excel. Для этого достаточно построить точечную диаграмму по данным таблицы 21, добавить в него линию тренда и включить опцию «отображать уравнение» в настройках линии тренда. Можно воспользоваться статистическими формулами и при помощи функций «КОВАР», «ДИСПР» и «СРЗНАЧ» определить коэффициенты по формулам: , , где - это дисперсия значений , а – ковариация между и . Таким образом имеем полученные коэффициенты:

	1,057184
	-13,1902

Табл. 22

Теперь выпишем реальные данные за Июнь 2009 г. в отдельную таблицу, рядом добавим дополнительные столбцы, которые будут отражать расчётный курс доллара на этот месяц по коэффициентам из таблицы 22 и реальным данным евро и ошибку в расчётах на основе реальных данных по доллару на этот месяц:

Дата	Курс Евро	Курс доллара реальный	Курс расчётный	Ошибка
01.06.2009	43,378	30,9843	32,6683447	-1,6840447
02.06.2009	43,4875	30,7441	32,78410637	-2,0400064
03.06.2009	43,4152	30,7321	32,70767195	-1,975572
04.06.2009	43,649	30,5131	32,95484161	-2,4417416
05.06.2009	43,8542	30,8767	33,1717758	-2,2950758
06.06.2009	43,6009	30,6919	32,90399105	-2,212091
07.06.2009	43,6009	30,6919	32,90399105	-2,212091
08.06.2009	43,6009	30,6919	32,90399105	-2,212091
09.06.2009	43,328	31,0751	32,61548549	-1,5403855
10.06.2009	43,4909	31,2637	32,78770079	-1,5240008
11.06.2009	43,5895	30,9277	32,89193915	-1,9642391
12.06.2009	43,3546	30,9124	32,64360659	-1,7312066
13.06.2009	43,3546	30,9124	32,64360659	-1,7312066
14.06.2009	43,3546	30,9124	32,64360659	-1,7312066
15.06.2009	43,3546	30,9124	32,64360659	-1,7312066
16.06.2009	43,2958	31,1548	32,58144416	-1,4266442
17.06.2009	43,3511	31,3185	32,63990645	-1,3214064
18.06.2009	43,2796	31,1297	32,56431778	-1,4346178
19.06.2009	43,434	31,0998	32,72754701	-1,627747
20.06.2009	43,3914	31,1541	32,68251097	-1,528411
21.06.2009	43,3914	31,1541	32,68251097	-1,528411
22.06.2009	43,3914	31,1541	32,68251097	-1,528411
23.06.2009	43,3216	31,2408	32,60871951	-1,3679195
24.06.2009	43,7556	31,5765	33,06753744	-1,4910374
25.06.2009	43,9274	31,1365	33,24916168	-2,1126617
26.06.2009	43,5728	31,2037	32,87428417	-1,6705842
27.06.2009	43,6965	31,1184	33,00505786	-1,8866579
28.06.2009	43,6965	31,1184	33,00505786	-1,8866579
29.06.2009	43,6965	31,1184	33,00505786	-1,8866579
30.06.2009	43,8191	31,2904	33,13466863	-1,8442686

Табл. 23

Как видно по таблице 23, расчётный курс на каждый день оказался гораздо выше реального, что может быть обусловлено разнообразными причинами. Вероятно, что линейная регрессия по 5-и месяцам даёт слишком большую ошибку, поэтому можно уменьшить исследуемый промежуток до 4-ёх или 3-ёх месяцев. Для этого потребуется повторить все действия, начиная с формирования интервалов и заканчивая корреляционной таблицей. В итоге можно получить следующие результаты:

Курс по 5 месяцам	Курс по 3 месяцам	Курс по 4 месяцам	Ошибка 5 месяцев	Ошибка 3 месяца	Ошибка 4 месяца
32,6683447	32,3189752	32,59936249	-1,6840447	-1,334675199	-1,615062492
32,78410637	32,45399694	32,70034908	-2,0400064	-1,709896938	-1,956249075
32,70767195	32,3648456	32,63367026	-1,975572	-1,632745598	-1,901570263
32,95484161	32,65313859	32,84929276	-2,4417416	-2,140038591	-2,336192758
33,1717758	32,90616563	33,03853885	-2,2950758	-2,029465632	-2,161838849
32,90399105	32,59382767	32,80493244	-2,212091	-1,901927672	-2,113032441
32,90399105	32,59382767	32,80493244	-2,212091	-1,901927672	-2,113032441
32,90399105	32,59382767	32,80493244	-2,212091	-1,901927672	-2,113032441
32,61548549	32,25732144	32,5532499	-1,5403855	-1,182221436	-1,478149897
32,78770079	32,45818939	32,70348473	-1,5240008	-1,194489394	-1,439784732
32,89193915	32,57977061	32,79441877	-1,9642391	-1,652070614	-1,86671877
32,64360659	32,29012124	32,5777818	-1,7312066	-1,377721238	-1,665381797
32,64360659	32,29012124	32,5777818	-1,7312066	-1,377721238	-1,665381797
32,64360659	32,29012124	32,5777818	-1,7312066	-1,377721238	-1,665381797
32,64360659	32,29012124	32,5777818	-1,7312066	-1,377721238	-1,665381797
32,58144416	32,21761641	32,52355339	-1,4266442	-1,062816413	-1,368753385
32,63990645	32,28580547	32,57455392	-1,3214064	-0,967305475	-1,256053916
32,56431778	32,19764059	32,5086129	-1,4346178	-1,067940594	-1,378912905
32,72754701	32,38802741	32,6510086	-1,627747	-1,288227413	-1,551208599
32,68251097	32,33549841	32,61172067	-1,528411	-1,181398407	-1,457620667
32,68251097	32,33549841	32,61172067	-1,528411	-1,181398407	-1,457620667
32,68251097	32,33549841	32,61172067	-1,528411	-1,181398407	-1,457620667
32,60871951	32,24942975	32,54734748	-1,3679195	-1,008629755	-1,306547485
33,06753744	32,78458441	32,94760481	-1,4910374	-1,208084413	-1,371104811
33,24916168	32,99642674	33,10604769	-2,1126617	-1,85992674	-1,969547688
32,87428417	32,55917826	32,77901716	-1,6705842	-1,355478257	-1,575317163
33,00505786	32,71170967	32,89309972	-1,8866579	-1,593309665	-1,774699723
33,00505786	32,71170967	32,89309972	-1,8866579	-1,593309665	-1,774699723
33,00505786	32,71170967	32,89309972	-1,8866579	-1,593309665	-1,774699723
33,13466863	32,86288469	33,00616781	-1,8442686	-1,572484691	-1,715767807

Табл. 24

Как видно из таблицы 24, ошибки заметно уменьшаются в зависимости от того, как уменьшается интервал. Это совсем не значит, что минимальный интервал даст наибольшую точность, однако промежуток в 3 месяца (сезон) может быть наиболее точным и рациональным в отношении прогнозирования зависимости курсов на будущее.

Конечно же, используя данные по курсам трудно сделать прогноз, если нет никаких данных. Однако, данная методика может помочь в планировании, так как по вычисленной ошибке при помощи методики Пирсона можно определить примерный корридор курса нужной валюты и, опираясь на минимум или максимум рамок этого корридора можно обезопасить себя от рисков. Однако, эти данные не позволяют делать полноценный прогноз, так как определить один курс, не зная второго, при помощи регрессии невозможно. Однако, продолжая исследования в этой области, есть возможность найти определённые тенденции изменения ошибок по месяцам, неделям и даже дням, тем самым определить направление движения курса в ту или иную сторону.