Узловые уравнения в матричной форме

Вводим понятие узловых потенциалов j_у. Потенциал последнего n -го узла, для которого отсутствует строка в матрице [ A ] принимается равным 0. Столбовая матрица узловых потенциалов:

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу .

Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа , получим:

Введем обозначения:

- матрица узловых проводимостей

- матрица узловых токов.

- система узловых уравнений в обобщенной матричной форме.

Т.7. Электрические цепи трехфазного тока.

Трехфазная система

Многофазной системой называется совокупность, состоящая из ” n ” отдельных одинаковых электрических цепей или электрических схем, режимные параметры в которых (е, u, i) сдвинуты во времени на равные отрезки или по фазе .

Отдельные части системы называются фазами. Термин ”фаза” в электротехнике имеет два смысловых значения: первое - как момент времени для синусоидальной функции тока или напряжения, второе - как часть многофазной системы. В технике нашли применение 2-х, 3-х, 6-и и более фазные системы. В электроэнергетике наибольшее распространение получила трехфазная система, обладающая рядом преимуществ перед системами с другим числом фаз.

Трехфазная система состоит из трех электрических цепей или электрических схем (фаз), параметры режима (u,i) в которых сдвинуты во времени на . Отдельные фазы трехфазной системы согласно ГОСТ обозначаются (именуются) заглавными латинскими буквами А, В, С (основное обозначение), или цифрами 1, 2, 3 (допустимое обозначение), или заглавными латинскими буквами R, S, T (международное обозначение).

Не имеет значения, какую из трех фаз именовать какой буквой А, В или С, существенным является их порядок следования друг за другом во времени. Прямым порядком следования фаз называется А В С А, при котором параметры режима (u, i) в фазе В отстают от аналогичных параметров в фазе А на 120^o, а в фазе С - опережают на 120^o. При обратном порядке следования фаз А С В А параметры режима в фазе С отстают от аналогичных параметров в фазе А на 120^o, а в фазе В - опережают на 120^o.

Если отдельные фазы системы работают изолировано и независимо друг от друга, то система называется несвязанной. Рассмотрим работу простейшей несвязанной трехфазной системы (рис. 85). Мгновенные значения фазных ЭДС генератора сдвинуты во времени на 120^oв порядке следования фаз A ® B ® C ® A:

;

Графические диаграммы этих функций показаны на рис. 86, а векторные - на рис. 87.

Основное свойство любых переменных функций (е, u, i) в симметричной трехфазной системе состоит в том, что сумма их мгновенных значений в любой момент времени равна нулю, например, е_А+ е_В+ е_С = 0. Найдем эту сумму для разных моментов времени:

, ;

, .

Как следует из векторной диаграммы рис. 87, геометрическая сумма векторов фазных ЭДС также равна нулю:

Если нагрузка отдельных фаз равна между собой, т.е. , то фазные токи будут равны по модулю и сдвинуты по фазе относительно своих ЭДС (напряжений) на один и тот же угол φ, а между собой, как и ЭДС, будут сдвинуты по фазе на 120^о. Следовательно, фазные токи i_А, i_В, i_С образуют симметричную трехфазную систему и для них будут справедливы полученные ранее выводы: i_А+ i_В+ i_С = 0; I _А+ I _В+ I _С = 0.

Преобразуем несвязанную трехфазную систему рис. 1 в связанную путем объединения трех обратных приводов в один общий привод. Согласно 1-ому закону Кирхгофа в общем проводе должен протекать суммарный ток i_N= i_А+ i_В+ i_C = 0. Это означает, что потребность в обратном проводе вообще отпадает, благодаря чему достигается значительная экономия проводов при передаче энергии от трехфазного генератора к приемнику.

Достоинства трехфазной системы:

1) Передача энергии от генератора к потребителям трехфазным током наиболее выгодна экономически, чем при любом другом числе фаз. Например, по сравнению с двухпроводной системой достигается экономия проводов в два раза (3 провода вместо 6), соответственно уменьшаются потери энергии в проводах линии.

2) Трехфазная система позволяет технически просто получить круговое вращающееся поле, которое лежит в основе работы всех трехфазных машин (генераторов и двигателей).

3) Элементы трехфазной системы (генераторы, трансформаторы, двигатели) просты по конструкции, надежны в работе, имеют хорошие массогабаритные показатели, сравнительно дешевы, долговечны.

4) На выходе трехфазных генераторов имеется два уровня выходного напряжения – линейное и фазное, отличающиеся в раз (U _л/ U _ф = ), что позволяет подключать к такому генератору приемники с различными номинальными напряжениями.

Благодаря своим достоинствам трехфазная система применяется в электроэнергетике для производства, передачи, распределения и потребления электрической энергии.

Трехфазная система и ее основные звенья – генератор, трансформатор, линия электропередачи, двигатель – были разработаны в 1889 году инженером Доливо-Добровольским (фирма Сименс и Шукерт). Создание этой системы явилось важным событием в истории развития теоретической и прикладной электротехники.