Глава II. Случайные величины и их

Характеристики

Случайная величина и её функция

Распределения

 

В главе I мы встречались со случайными событиями, состоящими в появлении в результате опыта некоторого числа. Так в серии из n выстрелов событие состоит в к попаданиях в мишень, при бросании игральной кости выпадало то или иное число очков и т.д. В подавляющем большинстве случаев важные для приложений случайные события могут быть описаны числом ξ. При этом случайный характер исхода опыта влечет за собой случайность числа ξ; это означает, что при повторении опыта оно меняется непредвиденным образом. Например:

1. Бросается игральная кость; ξ – выпавшее число очков.

2. Пусть в урне имеется N шаров, из них m белых, остальные чёрные. По схеме выборки без возвращения из урны извлекается n шаров. Тогда ξ – число белых шаров в выборке.

3. Электрическая лампочка испытывается на длительность горения; ξ - время горения лампочки.

4. Некто приходит на платформу станции метро, чтобы сесть в поезд; ξ – время ожидания ближайшего поезда.

5. Результат любого измерения выражается случайным числом ξ (ввиду невозможности исключить различные случайные воздействия).

Введём понятие случайной величины.

Определение 1. Случайной величиной, связанной с данным опытом, называемая величина, которая принимает то или иное числовое значение в зависимости от исхода опыта, заранее неизвестно, какое именно (это зависит от случая).

Замечание. Поскольку результатом опыта является одно и только одно элементарное событие ω из пространства элементарных событий Ω (см.§5), то случайная величина ξ представляет собой функцию от элементарного события . Поэтому мы можем дать следующее определение случайной величины.

Определение 2. Числовая функция от элементарного события называется случайной величиной.

Различные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений, но этого недостаточно для полного описания случайной величины. Необходимо знать, как часто случайная величина принимает то или другое из своих значений. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Пусть дана случайная величина , . Зададим действительное число и рассмотрим событие - ).

Замечание. В случае задания вероятностной схемы (см.§5), в определении случайной величины мы требуем чтобы было событием для любого .

Наиважнейшей (определяющей) характеристикой случайной величины является её функция распределения.

Определение 3. Функция

(1)

определенная при всех , называется функцией распределения случайной величины .

С помощью функции распределения F(x) можно выразить вероятности попадания величины ξ в различные промежутки вида:

. (2)

Пусть . Тогда из разложения события на сумму несовместных событий следует и значит

. (3)

Формула (3) в дальнейших рассуждения играет важную роль.

Теорема 1. Функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:

1. F(x) не убывает,

2. F(x) непрерывна слева, т.е. ,

3. .

Доказательство.

Свойство 1 следует из формулы (3) (если учесть, что ).

Событие можно представить как счётную сумму несовместных событий

и т.д., где возрастающая последовательность, сходящаяся к х ₀ (например ). Тогда получаем

Данный ряд сходиться (см.§5) и значит его сумма есть предел последовательности частичных сумм

.

Таким образом получаем, что

Это доказывает свойство 2.

Свойство3. Доказывается аналогично свойству 2.

Теорема доказана.

Представляет интерес вопрос о разрывах функции F(x). Точки разрыва соответствуют таким значением х, для которых разность отлична от нуля. Имеет место

Теорема 2. При любом значении х имеет место формула

. (4)

Доказательство. Рассмотрим убывающую последовательность , сходящуюся к точке х₀. Тогда событие можно представить в виде счётной суммы несовместных событий т.е.

и значит (в виду счётной аддитивности вероятности см.§2)

.

Поскольку ряд сходится, то значит его сумма есть предел частичных сумм, т.е.

Отсюда получаем

и значит (в виду теоремы 1) получаем

.

Теорема доказана.

Итак скачок функции распределения в точке х совпадает с вероятностью события (Рис.1)

 

Рис. 1

 

Следствие. Если х ₀, точка непрерывности функции F(x), то вероятность события равна нулю (поскольку в этой точке ).

Оказывается свойства 1-3 из теоремы 1 функции распределения F(x) являются характеристическими.

А именно, справедлива следующая важная теорема.

Теорема 3. Пусть дана функция F(x), определённая для всех значений х и обладающая свойствами:

1. F(x) не убывает,

2. F(x) непрерывна слева при любом х,

3. .

Тогда существует, и притом лишь одна, случайная величина , функция распределения которой совпадает с F(x).