Преобразования описаний графа

Тема 4. ГРАФЫ И СЕТИ

Способы задания графов

Теория.

1. Графическим изображением.

2. Множеством вершин и дуг: совокупностью двух множеств — непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е — множество ребер)

3. Матрицей инцидентности размера : по вертикали и горизонтали указываются вершины и ребра соответственно, а на пересечении i -й вершины и j -го ребра в случае неориентированного графа записывается 1, если они инцидентны, и 0 – в противном случае, т.е.

В случае орграфа на пересечении i -й вершины и j -го ребра записывается минус единица (-1), если вершина является началом ребра и единица (+1) если вершина является концом ребра; 0 – записывается, если вершина и ребро не инцидентны. Если некоторая вершина является для ребра и началом, и концом (т.е. ребро – петля), проставляется любое другое число, например 2, т.е.

где любое число, отличное от -1, 1. 0.

4. Списком ребер графа, представленным двумя столбцами: в левом перечисляются все ребра , а в правом – инцидентные ему вершины v_ij. Для н-графа порядок вершин в строке произволен, для орграфа первым стоит номер начала ребра;

5. Матрицей смежности –квадратной матрицей размера , гдепо вертикали и горизонтали перечисляются все вершины ,а на пересечении k-й и l-й вершин в случае н-графа проставляется число, равное числу ребер, соединяющих эти вершины. Для орграфа равно числу ребер с началом в k-й вершине и концом в l-й.

Пример 1. Задать сетевой граф, изображенный на рис. 1 различными способами.

Рис 1.

Решение:

1. Графическое задание представлено на рисунке.

2. Множеством вершин и дуг:

V={1,2,3,4,5,6}, E={(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(5,6)}.

3. Матрицей инцидентности:

Таблица 1

G	a	b	c	d	e	f	g
	-1	-1
				-1	-1
			-1
							-1
						-1

4. Матрицей смежности:

Таблица 2

G

5. Списком ребер:

Таблица 3

Ребро	Вершины
a	1,2
b	1,3
c	3,4
d	2,4
e	2,5
f	5,6
g	4,6

Пример 2. Построить графическое изображение графа заданного матрицей инцидентности вида:

Таблица 4

G	I	II	III	IV	V	VI	VII

Решение.

При наличии матрицы инцидентности число всех вершин и число ребер графа определяется очевидным образом по размеру матрицы: число ребер графа |E| равно числу строк m, а число вершин |V| – числу столбцов n матрицы. В данном примере m=11, n=7.

Граф выглядит следующим образом:

Рис. 2

Пример 3. Построить графическое изображение орграфа заданного матрицей смежности вида:

Таблица 5

G	I	II	III	IV	V	VI	VII
I
II
III
IV
V
VI
VII

Решение.

По матрице смежности определим число вершин графа определяется порядком n матрицы. В данном примере n=7. Число ребер орграфа определяется всеми элементами матрицы смежности. Отсюда их число равно:

=10.

Граф выглядит следующим образом:

Рис. 3

Пример 4. Построить графическое изображение двух графов G₁ и G₂ заданных списками своих ребер вида:

Таблица 6 Таблица 7

 

G1		G2
Ребро	Вершины		Ребро	Вершины
a	1,2		a	1,2
b	2,2		b	2,3
c	2,3		c	3,4
d	3,3		d	4,5
e	3,5		e	1,1
f	1,4		f	1,5
g	4,5		g	5,5

Решение.

Количество вершин равно 5, количество ребер равно 7. Графы выглядят следующим образом:

Рис. 4 Рис. 5

Преобразования описаний графа

Теория.

Построение матрицы инцидентности по списку ребер. Каждая строка списка соответствует строке матрицы с тем же номером. Для н-графа в строке списка указаны номера элементов строки матрицы инцидентности, равные 1. Для орграфа в этой строке первым стоит номер элемента строки матрицы, равного -1, а вторым – номер элемента, равного 1. При совпадении номеров в строке списка ребер в названном элементе строки матрицы инцидентности проставляется, например, 2.

Построение по матрице смежности списка ребер. Элементу матрицы, расположенному в i -й строке и j -ом столбце, соответствует строк списка ребер (при = 0 – ни одной строки), в каждой из которых записаны номера i, j. Для н-графа эти строки соответствуют только элементам верхнего правого треугольника матрицы смежности, т.е. элементам , а для орграфа нужно рассматривать все элементы .

Матрица смежности н-графа симметрична относительно главной диагонали , и все его ребра определяются верхним правым треугольником матрицы, расположенным над диагональю, включая последнюю. Таким образом, число ребер н-графа по матрице смежности равно сумме элементов , расположенных на диагонали и выше, т.е. равно:

.

Ребра орграфа определяются всеми элементами матрицы смежности, отсюда их число равно:

Список ребер графа является, по существу, сокращенным представлением матрицы инцидентности (в каждой ее строке только два элемента отличны от 0 или даже один, если ребро – петля).

Пример 5. Построить матрицу инцидентности н-графа по списку ребер вида:

Таблица 8

Ребро	Вершины
	A,B
	A,C
	B,D
	A,E
	C,D
	C,D
	D,D
	C,E
	D,G
	E,F
	F,G

Решение.

Количество вершин равно 7, количество ребер равно 11. Таким образом, матрица инцидентности будет иметь 7 столбцов и 11 строк.

Таблица 9

G	A	B	C	D	E	F	G

Матрица инцидентности (таблица 9) совпадает с таблицей инцидентности (таблица 4) и граф, описанный данной таблицей, может иметь вид рис. 2.

Пример 6. Построить список ребер графа по матрице смежности вида:

Таблица 10

 

G

Решение.

Количество вершин графа равно числу строк и столбцов матрицы и равно 5, а количество ребер вычисляется по формуле

=7.

Обозначим ребра буквами латинского алфавита. Тогда список ребер графа будет имеет следующий вид:

Таблица 11

G1
Ребро	Вершины
a	1,2
b	2,2
c	2,3
d	3,3
e	3,5
f	1,4
g	4,5

Данная таблица соответствует списку ребер (таблица 6) графа изображенного на рис. 4.