Двоичная система счисления

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: "Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

1. Делим 2000 на основание новой системы счисления — 2:

2000:2=1000(0 - остаток),

1000:2=500(0),

500:2=250(0),

250:2=125(0),

125:2=62(1),

62:2=31(0),

31:2=15(1),

15:2=7(1),

7:2=3(1),

3:2=1(1)

2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу:

2000₁₀==11111010000₂

Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

210	29	28	27	26	25	24	23	22	2'	2°

2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

0*2⁰+0*2¹+0*2²+0*2³+l*2⁴+0*2⁵+l*2⁶+l*2⁷+l*2⁸+l*2⁹+l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека — слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная.

Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число — 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод — числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (7¹⁰=1*2⁰+1*2¹+1*2²), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*2⁰ + 0*2¹ + 1*2² + 1*2³), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 — в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат: 11111010000₂ = 7D0₁₆.

Кодирование координат

Закодировать можно не только числа, но и другую информацию. Например, информацию о том, где находится некоторый объект. Величины, определяющие положение объекта в пространстве, называются координатами. В любой системе координат есть начало отсчёта, единица измерения, масштаб, направление отсчёта, или оси координат. Примеры систем координат — декартовы координаты, полярная система координат, шахматы, географические координаты.

Кодирование музыки

Как всякий звук, музыка является не чем иным, как звуковыми колебаниями, зарегистрировав которые достаточно точно, можно этот звук безошибочно воспроизвести. Нужно только непрерывный сигнал, которым является звук, преобразовать в последовательность нулей и единиц. С помощью микрофона звук можно превратить в электрические колебания, измерить амплитуду колебаний через равные промежутки времени (несколько десятков тысяч раз в секунду). Каждое измерение записывается в двоичном коде. Этот процесс называется дискретизацией. Устройство для выполнения дискретизации — АЦП (аналогово-цифровой преобразователь). Воспроизведение такого звука ведётся при помощи ЦАП (цифро-аналогового преобразователя). Полученный ступенчатый сигнал сглаживается и преобразуется в звук при помощи усилителя и динамика. На качество воспроизведения влияют частота дискретизации и разрешение (размер ячейки, отведённой под запись значения амплитуды). Например, при записи музыки на компакт-диски используются 16-разрядные значения и частота дискретизации 44 032 Гц. Понятно, что музыкальное произведение содержит в себе множество разных звуков, поэтому для того, чтобы хранить такой объём информации, нужно много места, такую запись трудно обрабатывать, так как в музыке ещё очень много оттенков. По этим причинам удобнее использовать для кодирования музыки нотную запись — своего рода алгоритм музыканту. В 1983 году ведущие производители электронных музыкальных инструментов и композиторов договорились о системе команд универсального синтезатора. Это соглашение — стандарт MIDI (Musical Instrument Digital Interface). При таком кодировании запись компактна, легко меняется инструмент исполнителя, тональность звучания, одна и та же запись воспроизводится как на синтезаторе, так и на компьютере.

Кодирование текста

Текст закодировать довольно просто. Для этого достаточно как-нибудь перенумеровать все буквы, цифры, знаки препинания и другие используемые при письме символы. Для хранения одного символа чаще всего используется восьмиразрядная ячейка — один байт, иногда два байта (иероглифы, например). В байт можно записать 256 различных чисел, значит, это позволит закодировать 256 различных символов. Соответствие символов и их кодов задаётся в специальной таблице. Коды записываются в шестнадцатеричной системе, так как для записи числа из восьми разрядов нужно всего две шестнадцатеричных цифры.

Кодирование изображений

Цифровые персональные компьютеры хорошо работают с числами, но не умеют обрабатывать непрерывные величины. Но человеческий глаз можно обмануть: изображение, составленное из большого числа отдельных мелких деталей, воспринимается как непрерывное. Если разбить картинку вертикальными и горизонтальными линиями на маленькие мозаичные квадратики, получим так называемый растр — двумерный массив квадратиков. Сами квадратики — элементы растра или пиксели (picture's element) — элементы картинки. Цвет каждого пикселя кодируется числом, тогда, задав по порядку номера цветов (слева направо или сверху вниз), можно описать любую картинку. Часть информации неизбежно потеряется, но чем больше растр (мельче пиксели), тем точнее воспроизводится картинка.

Для описания черно-белых изображений используются оттенки серого цвета, то есть при кодировании учитывается только яркость. Она описывается одним числом, поэтому для кодирования одного пикселя требуется от 1 до 8 бит: чёрный цвет — 0, белый цвет — N=2^k-l, где k — число разрядов, которые отводятся для кодирования цвета. Например, при длине ячейки в 8 бит это 256-1=255. Человеческий глаз в состоянии различить от 100 до 200 оттенков серого цвета, поэтому восьми разрядов вполне хватает.

Цветные изображения воспринимаются нами как сумма трёх основных цветов — красного, зелёного и синего. Например, сиреневый = красный + синий; жёлтый = красный + зелёный; оранжевый = красный + зелёный, но в другой пропорции. Поэтому достаточно закодировать цвет тремя числами — яркостью его красной, зелёной и синей составляющих. Этот способ кодирования называется RGB (Red—Green—Blue). Его используют в устройствах, способных излучать свет (мониторы). При рисовании на бумаге действуют другие правила, так как краски сами по себе не испускают свет, а только поглощают некоторые цвета спектра. Если смешать красную и зелёную краски, то получится коричневый, а не жёлтый цвет. Поэтому при печати цветных изображений используют метод CMY (Cyan—Magenta—Yellow) —голубой, сиреневый, жёлтый цвета. При таком кодировании красный = сиреневый + жёлтый; зелёный = голубой + жёлтый.

Кодирование фильмов

Фильм представляет собой последовательность быстро сменяющих друг друга кадров, на которых изображены последовательные фазы движения. Поскольку известны принципы кодирования отдельных кадров, то закодировать фильм как последовательность таких кадров ничего не стоит. Звук записывают независимо от изображения. При демонстрации фильма важно только добиться синхронизации звука и изображения (в кино для этого используют хлопушку — по щелчку хлопушки совмещаются звук и изображение).

Закодированный фильм несёт в себе информацию о размере кадра в пикселях и количество используемых цветов; частоте и разрешении для звука; способе записи звука (покадровый или непрерывный для всего фильма). После этого следует последовательность закодированных картинок и звуковых фрагментов.