Кольцо многочленов от нескольких переменных

 

Понятия:

1) многочлен от нескольких переменных;

2) равенство многочленов;

3) степень многочлена;

4) сумма и произведение многочленов;

5) симметрические многочлены;

6) элементарные симметрические многочлены;

7) лексикографическое расположение членов многочлена;

8) результант двух многочленов;

9) дискриминант многочлена.

 

Факты:

1) основная теорема о симметрических многочленах;

2) связь между дискриминантом и наличием кратных корней;

3) cвязь между результантом и наличием общих корней двух многочленов.

 

Контрольные вопросы

1. Образуют ли все симметрические многочлены от n переменных относительно обычных действий кольцо? поле?

2. Верно ли, что произвольный многочлен можно “преобразовать” в симметрический, прибавив к нему несколько членов?

3. Верно ли, что значения произвольного многочлена от основных симметрических многочленов является симметрическим многочленом?

4. Пусть - корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Верно ли, что является целым числом для произвольных натуральных n?

5. Какой из членов выше, а какой ниже (в смысле лексикографического порядка): a) или ; b) или ?

6. Являются ли симметрическими многочлены:

a) ;

b) ?

 

Задачи и упражнения

1. Выразить данные симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены: а)

б) в)

2. Моногенный многочлен состоит из всех членов, которые получаются из члена путем различных перестановок переменных.

а) Доказать, что любой симметрический многочлен является суммой моногеных.

б) Выразить через элементарные симметрические многочлены такие многочлены относительно n неизвестных: .

в) Вычислить значение от корней уравнения .

3. Моногенный многочлен относительно n переменных называется степенной суммой.

а) Доказать, что при причем (вторая формула Ньютона для степенных сумм).

б) Доказать, что при (первая формула Ньютона для степенных сумм).

в) Найти степенные суммы от корней уравнения

г) Для каких уравнений n - ой степени все степенные суммы от корней этих уравнений равняются нулю?

4. Вычислить площадь треугольника, если известно, что длины его сторон являются корнями уравнения

5. Вычислить результант многочленов:

6. С помощью результанта найти значение параметра p, с которым многочлены и имеют общий корень.

7. Найти дискриминант многочлена:

8. Исключить x из системы уравнений:

9. С помощью результанта решить системы уравнений:

10. Число, которое является корнем многочлена с рациональными (или же с целыми) коэффициентами, называется алгебраическим. Доказать, что все алгебраические числа образуют поле относительно обычных действий.

[4, № 693-697; 699-702; 708; 723-726; 731-733];

[6, № 7.3.6; 7.3.8; 7.3.14; 7.4.1-7.4.4].