Основные законы логики высказываний.

Возникновение Аксиоматики. Классическая современная структура математики.

- Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (4 век до н. э.), имел значение «истина, очевидная сама по себе». Окончательный свод мат. Аргументов в «началах Евклида». Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» (фактами) для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из опытов. Аксиоматическая теория математической структуры - из каждой аксиомы можно вывести следствия, отказавшись от каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез, на основе которых можно будет вывести другие аксиомы.

Понятия и формализация высказываний. Основные логические операции над высказываниями.

Высказывание - повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух логических значений: ложь или истина. Логические высказывания разделяют на два вида: элементарные и составные логические. Примеры: «Петров — врач», — элементарное логические высказывания. «Петров — врач и шахматист» — составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Отрицание, Конъюнкция, Дизъюнкция, Импликация, Равносильность (эквивалентность), высказывание с квантором существования, с квантором всеобщности.

Пропозициональные связки. Синтаксис и семантика логики высказываний.

Пропозициональная связка- операция, позволяющая из данных суждений(высказываний) строить новые суждения (высказывания). «&», «v», «->», «=», «~» Пропозициональные символы являются высказываниями и называются атомарными высказываниями или атомами. A - логическая формулы, НЕ (А)- тоже формула. Эти формулы определяются на семантическом уровне при помощи таблиц истинности. Формула, принимающая значение И при всех значениях пропозициональных переменных называется тавтологией (или общезначимой), а формула, принимающая значение Л при всех значениях пропозициональных переменных называется противоречием (или невыполнимой).

Основные законы логики высказываний.

Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений.

Законы де Моргана:

Закон контрапозиции:

Законы поглощения:

Законы дистрибутивности:

Доказать законы логики можно:

1) с помощью таблиц истинности;

2) с помощью равносильностей.

5) Тождественная истинность и тождественная ложность формул.

Тождественно истинные формулы (тавтологии). Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Например Законы де Моргана: …

Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных, представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов.