Понятие логического следования

Выведение следствий из данных посылок - широко распрост­раненная логическая операция. Как известно, условиями истинно­сти заключения является истинность посылок и логическая пра­вильность вывода. Иногда в ходе доказательства от противного допускаются в рассуждении заведомо ложные посылки (так называемый антитезис при косвенном доказательстве) или принимаются посылки недоказанные, однако эти посылки обязатель­но подлежат в дальнейшем исключению.

Человек, не изучивший логики, делает эти выводы, не приме­няя сознательно фигур и правил умозаключения. Формальная ло­гика знакомит с правилами различных видов умозаключений. Ма­тематическая логика дает формальный аппарат, с помощью которого в определенных частях логики можно выводить след­ствия из данных посылок. Используя этот аппарат, мы можем, имея некоторые данные, получить из них новые сведения, непосредственно не очевидные, но заключенные в этой инфор­мации, можем выводить логические следствия, вытекающие из данной информации.

Логическое следствие из данных посылок есть высказыва­ние, которое не может быть ложным, когда эти посылки истинны.

Иными словами, некоторое выражение В есть логическое след­ствие из формулы А (где А и В -метазнаки для различных по фор­ме высказываний), если, заменив те конкретные элементарные вы­сказывания, которые входят в А ú В, переменными, мы получим тождественно-истинное выражение (А → В), или закон логики.

Возьмем такой пример. Нам даны три посылки: 1) “Если Иван -брат Марьи или Иван - сын Марьи, то Иван и Марья -родственни­ки”; 2) “Иван и Марья - родственники”; 3) “Иван - не сын Марьи”. Можно ли из них вывести логическое следствие, что “Иван - брат Марьи”? Многим сначала кажется, что такое логическое заключе­ние из данных трех посылок будет истинным. Чтобы проверить это, следует составить формулу этого умозаключения. Обозначим суждение “Иван - брат Марьи” буквой (переменной) а, суждение “Иван - сын Марьи” - буквой b и суждение “Иван и Марья - род­ственники” - буквой с.

Запишем нашу задачу символами (над чертой записаны три данные посылки, под чертой - предполагаемое заключение):

(aú6)→ c, c,b

а

Объединив три посылки знаком конъюнкции (“^”) и присо­единив к ним посредством знака “±” предполагаемое заклю­чение а, получим формулу:

(((а úb)→ c)^c^b)→ a

Нам нужно проверить, является ли данная формула, в кото­рой а, b, с трактуются теперь как переменные, законом логики.

Составим для формулы таблицу:

а	b	с		a úb	(aúb)→ с	((aú b)→ c)^ c^	(((aúb)→ с) ^ с ^ )→ а
И	И	И	Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	Л	Л	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	И	Л	И
Л	И	Л	Л	И	Л	Л	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	И
Л	Л	Л	И	Л	И	Л	И

В последней колонке формула в одном случае принимает зна­чение “ложь”, значит, она не является законом логики. Следова­тельно, из данных трех посылок не следует с необходимостью заключение, что “Иван - брат Марьи”. Иван может быть племянником Марьи, или отцом Марьи, или дядей Марьи, или каким-либо другим родственником Марьи.

Этот пример показывает, что эффективность средств математической логики видна тогда, когда средствами традиционной формальной логики трудно установить, вытекает ли какое-либо следствие из данных посылок или нет, особенно в случае, когда мы, имеем дело с большим числом посылок (но не имеем еще дела с формулами, содержащими кванторы).